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重要 例 168 三角形の面積の最小値
| 面積が1である △ABCの辺AB, BC, CA 上にそれぞれ点D,E,F を
AD: DB=BE: EC=CF:FA=t: (1-t) (ただし, 0<t<1) となるように
る。
(1) ADF の面積をtを用いて表せ。
(2) △DEF の面積をSとするとき, Sの最小値とそのときのtの値を求めよ。
指針 (1) 辺の長さや角の大きさが与えられていないが, △ABCの面積が1であることと、
△ABCと△ADF は ∠Aを共有していることに注目。
△ABC=1/AB・ACsinA(=1),
解答
(2) △DEF=△ABC-(△ADF+△BED+△CFE) として求める。
Sはもの2次式となるから,基本形 a(t-p)2 +αに直す。
ただしtの変域に要注意!
(1) AD=tAB, AF=(1-t) AC
であるから
AADF=AD･AFsinA
1
AADF= -AD AF sin A
AD
2
1-t
練習 1辺の
-
D
=t(1-t)AB. AC sin A
また, △ABC=1 ABACsin A
であり, △ABC=1から AB.ACsin A=2
よって
△ADF=12t(1-t).2=t (1-t)
2
ANS &
(2)(1) と同様にして ABED=ACFE=t(1−t)
よって
S=△ABC-(△ADF+△BED+△CFE)
A 08:08
12
= 3 ( +- ²1/-)² + ·
ゆえに, 0<t<1の範囲において,Sは
1-t
BtE(1-t-
B
2-114 S+S)+
MAI=1-3t(1−t)=3t²−3t+1
676 =3(1²-1)+1=3{1²-1+ ( 1 )²} − 3 ( 12 ) ² + 1
2
03
EGO
C
晶検討
一般に
MAAI
t=1/2のとき最小値
をとる。
(D,E,F がそれぞれ辺 AB, BC, CA の中点のとき最小となる)
△AB'C'__ ABAC
△ABC AB-AC
nico A
B
B'
OXE
+1 SA S-31-3t+
AC
0
C
最小
