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0000
重要 例題 7 整数の問題への二項定理の利用
kを自然数とする。 2 を7で割った余りが4であるとき, kを3で割った余
[類 千葉大 ] 100
2であることを示せ。
VESA
指針 2=7l+4 (1は自然数) とおいてもうまくいかない。ここでは,
んが 3g, 3g+1, 3g+2 3で割った余りが 0, 1, 2
(gはkを3で割ったときの商) のいずれかで表されることに注目し,k=3g+2 の場合
け2を7で割った余りが4となることを示す方針で進める。
解答
kを3で割った商をg とすると, は 3g, 3g+1, 3g+23で割った余りは0か
のいずれかで表される。
2である。
A
[1] k=3g のとき, g≧1 であるから
C₁k=3, 6, 9,
例えば,k=3gのときは, 2=239=8° であり, 8°= (7+1) として二項定理を利用する
2を7で割ったときの余りを求めることができる。
......
2″=23º=(23)°=8°=(7+1)^
よって,2を7で割った余りは1である。
[2] k=3g+1のとき, g≧0であり
g = 0 すなわちk=1のとき
g≧1 のとき 2=239+1=2・239=2•8°=2(7+1)°
練習
= Co7°+ °C179-1 + +α Cg-17+Cg
=7(Co70-1+,C,79-2+..+aCa-1)+1
(4) 7
2″=2=7・0+2
よって2を7で割った余りは2である。
[3] k=3g+2のとき, g≧0であり
g=0 すなわちん=2のとき
Q1のとき 2239+2=22・23º=4・8°=4(7+1)。
7.2(C79-1+,C179-2+..+,Cq-1)+2 (*)
10001
"(0[+1-)="||
2"=22=4=7・0+4
_=7.4(C079-1+,C179-2++qCq-1) +4
別解 合同式の利用。
A までは同じ。 8-1 = 7・1であるから
[1] k=3g (g≧1) のとき
<二項定理
<k=1, 4,7,
******
は整数で,
2″ = 7× (整数)+1の形。
20+00001-1-
+1000erer=
よって2を7で割った余りは4である。
ANT
[1]~[3] から,2* を7で割った余りが4であるのは,k=3g+2のときだけである。
したがって2を7で割った余りが4であるとき,kを3で割った余りは2である。
1 (1) (x³
(2) (x-
(3) (x²
二項定理を適用する式の
数は自然数でなければな③4
[1] の式を利用。
2514
合同式については,改訂版チャート式基礎からの数学I+A p.492 ~ 参照
←
8=1 (mod 7)
2k=239=8°=1°≡1 (mod 7)
[2] k=3g+1 (g≧0) のとき g = 0 の場合 2=270+2
2k=239+1=892=1°•2=2
g≧1 の場合
esa
[3] k=3g+2 (g≧0) のとき g = 0 の場合 24=70+4
2k=239+2=8%22=1%･4=4
g≧1 の場合
以上から2を7で割った余りが4であるとき, kを3で割った余りは2である。
正の整数nでn" +1が3で割り切れるものをすべて求めよ。
2 (1) 正
求め
Je 08)000-
|自然数nに対し
CRAC
›3 (1) (
nCo
(2) -
明
ないから, q=0 とg≧11
分けて考える。 (*) は 5 (1)
の式を利用してい
5
k=2,5,8,
Ex
a=b (mod m) のとき
α"=6" (mod m)
(2)
〔類 一橋]
C²1 EX5
(3)
n ≧
(2)
(3)
(4)
④6(x
HIN
