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3章
重要 例題 129 領域の変換
00000
| 実数x, y が 0≦x≦1,0≦y≦1 を満たしながら変わるとき,点(x+y, x-y)の
動く領域を図示せよ。
指針 x+y=x
解答
基本110, 118
①, x-y=Y ② とおくと,求めるのは点(X,Y) の軌跡である。
ここで,x,yはつなぎの文字と考えられるから,x,yを消去して,X,Yの関係式
を導けばよい。
CHART 領域の変換 つなぎの文字を消去して,X,Yの関係式を導く
x+y=X,x-y=Yとおくと
X+Y
X-Y
x=
2y=
2
x,yをX,Yで表す。
重要 例
例題
130点(x+y, y) の動く領域
207
00000
実数x, y x2+y2 ≦1 を満たしながら変わるとき,点(x+y, xy) の動く領域
を図示せよ。
指針 x+y=X, xy = Y とおいて, X, Yの関係式 を導けばよい。
①条件式x2+y'≦1 を X,Yで表す。
→x'+y=(x+y^2-2xy を使うと
しかし,これだけでは誤り!
X2-2Y≤1
② x,yが実数として保証されるようなX,Yの条件を求める。
重要 129
→xyは2次方程式2-(x+y)t+xy=0 すなわち f-Xt+Y=0 の2つの解で
あるから,その実数条件として
判別式 D=X2-4Y≧0
① 実数条件に注意
0x1,0≦y≦1 に代入すると
X=x+y, Y=xy とおく。
X+Y_
0≤
2
-XSYS-X+2
.X-Y
2
よって
[X-2Y X
変数を x, yにおき換えて
|-xMy≦-x+2
x-2≦x≦x
<OX+Y2
解答 x2+y's1から
(x+y)²-2xy≦1 すなわち X2-2Y≦1
⇔-xs-X+2
したがって
0≤X-Y≤2
X² 1
2
......
①
⇔ Y≦X かつ
また, x, yは2次方程式2-(x+y)t+xy=0 すなわち
X-2≦Y
⇔X-2≦x≦X
したがって 求める領域は,
右の図の斜線部分。 ただし,
境界線を含む。
-------
<xy 平面上に図示するか
ら,X,Yをxyにおき
換える。
X2
ここで
f2-Xt+Y=0 の2つの実数解であるから, 判別式をDとす
ると
D≧0
D=(-X)-4・1・Y=X2-4Y
よって, X2-4Y0 から
<2数α. β に対して
p=a+β, q=aβ
とすると, a, βを
解とする2次方程
式の1つは
x-px+q=0
1 不等式の表す領域
[e]
y
②
4
125x=1
領域の変換
ある対応によって、座標平面上の各点Pに, 同じ平面上の点Qがちょうど1つ定まるとき、
①,②から
変数を x, y におき換えて
2
2
X² 1 SY≤ X²
検討
この対応を座標平面上の変換といい, Qをこの変換による点Pの像という。
座標平面上の変換によって, 点P(x, y) が点Q(x, y) に移るとき、この変換を
f: (x, y) → (x, y) のように書き表す。
2
1-1 Sys*
この例題は、座標平面上の正方形で表される領域内の点をf(x,y)(x+y,x-y) に
よって変換し,その像の点全体からなる領域
を求める問題である。 具体的な点をこのf
で変換してみるとそのようすがつかめる。 右
の図では、変換のようすがつかみやすいよう
に2つの座標平面で示した。
34
Ztava y
S₁
1
(0, 0)(0, 0). (1, 0)-(1, 1),
▲ (1, 1)(2, 0), (0, 1)(1, -1),
0
2'
(1/12 1/2) (10)
練習 実数x, y が次の条件を満たしながら変わるとき, 点 (x+y, x-y) の動く領域を図
③ 129 示せよ。
x+y=X, xy=Y が実数であったとしても,それがx+y'≦1 を満たす虚数x,yに対応し
た X,Yの値という可能性がある。 例えば,x=-
数), xy =
1 1
+y=
2
y=1/21-1/2 のとき x+y=1(実
2
(実数)で,x2+y2≦1 を満たすが x, yは虚数である。 このような(x,y) を
除外するために 実数条件を考えているのである。
練習 座標平面
130
る
斜線部分。ただし、境界線を含む。
したがって、求める領域は、右の図の
-√2
√√2
1とす
るとx=2
検討
実数条件(上の指針の2)が必要な理由
