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基礎問
47 軌跡(V)
mを実数とする. xy 平面上の2直線
mx-y=0.1,
について、 次の問いに答えよ.
x+my-2m-2=0 ......
②
V(1) ①,②はmの値にかかわらず,それぞれ定点 A, B を通る。
A, B の座標を求めよ.
(2) ①,②は直交することを示せ.
✓ (3) ①②の交点の軌跡を求めよ.
(1)「mの値にかかわらず」とあるので,「mについて整理」して、
mについての恒等式と考えます。 ( 37
(2) ② が 「y=」 の形にできません. (36)
ことはないので(注), 点 (0, 2)は含まれない。
⇒ y=2という、xのない形
にはできない
よって, 求める軌跡は
円 (x-1)2+(y-122 から, 点 (02)を除いたもの
注 一般に,y=mx+n型直線は,軸と平行な直線は表せません。
それは,yの頭に文字がないので、mnにどんな数値を代入しても
参考
77
必ず残って、x=kの形にできないからです。逆に,の頭には文
字がついているので,m=0 を代入すれば,y=n という形にでき,
軸に平行な直線を表すことができます。
45 の要領で①,②の交点を求めてみると
x=-
2(1+m)
1+m²,
2m(1+m)
y= 1+ m²
となり,まともにmを消去しようとすると容易ではなく, 除外点を見つけ
こともタイヘンです. もしも誘導がなければ次のような解答ができます。
れが普通の解答です。
「ません。
精講
(3) ①②の交点の座標を求めて 45 のマネをするとかなり大変です
したがって,(1),(2)を利用することを考えます。このとき, 45 の
x=0 のとき, ①よりm=y
I
xで割りたいの
YA
Ⅲを忘れてはいけません。
②に代入して+12y
-2=0
x=0、x=0
で場合分け
I
I
解答
:.x2+y2-2y-2x=0
(x-1)2+(y-1)²=2
それぞれの
(1) m の値にかかわらず mx-y=0が成りたつとき,r=y=0
次に, x=0 のとき,①より,y=0
0
定会を
.. A(0, 0)
これを②に代入すると,m=-1 となり実数が存在するので,
求める!!!
②より (y-2)m+(x-2)=0 だから
<mについて整理
∴B(2,2)
(2) m・1+(-1)m=0 だから,
36
点 (0, 0) は適する.
以上のことより, ①,②の交点の軌跡は円 (x-1)^2+(y-1)2=2か
(02) を除いたもの.
①,②は直交する.
ポイント
(3)(1),(2)より, ① ②の交点をPとすると ① 1 ②
y4
定点を通る2直線が直交しているとき,その交点
ある円周上にある. その際, 除外点に注意する
より, ∠APB=90°
2-
B
よって, 円周角と中心角の関係よりPは2点A,
Bを直径の両端とする円周上にある. この円の中
心は ABの中点で (11)
演習問題 47
0
A/
23
また, AB=2√2 より 半径は2
よって, (x-1)2+(y-1)²=2
ここで,①はy軸と一致することはなく, ②は直線 y=2と一致する
yに数ないので消えない
tを実数とする. xy 平面上の2直線 l : tr-y=t,
m:x+ty=2t+1 について, 次の問いに答えよ.
(1) tの値にかかわらず, 1, mはそれぞれ, 定点A, B
A,Bの座標を求めよ.
(2), mの交点Pの軌跡を求めよ.
⇒メロというりない形にはできない
