数列 {an}は 0<a<3, an+1=1+V1+an (n=1, 2, 3, …)をみたす
45 はさみうちの
ものとする。このとき、次の(1), (2), (3)を示せ.
X(1) n=1, 2, 3,
に対して,0<an<3
1カ-1
Y (2) n=1, 2, 3, … に対して, 3-a。s()(3-a)
(カー8)()=
入(3) lim an=3
n→ 0
(1) 漸化式から一般項を求めないで数列の性質を知りたいとき、
ず,帰納法と考えて間違いありません。
(2) これも(1)と同様に帰納法で示すこともできますが,「s」-
「=」としてみると, 等比数列の一般項の公式の形になっています。
(3) 44のポイントの形になっています。 臭いプンプンというところでしょう。
精講
解答
…① を帰納法で示す。
(i) n=1 のとき,条件より 0<a<3 だから, ①は成りたつ。
(i) n=k(k>1) のとき, 0<ak<3 と仮定すると,1<ax+1<4
(1) 0<an<3
22<ak+1<3
よって, 0<ax+1<3 が成りたつ.
(i), (i)より, すべての自然数nについて, ①は成りたつ。
(2) an+1=1+V1+an →3-an+1=2-V1+an 《まず, 左辺に3-an+1
をつくると
右辺にも3-am がでて
(2-1+an)(2+1+an)
2+/1+an
1<1+an<2-3<2+、1+an<4
3-an
右辺=-
2+/1+an
くる
(1)より
ード
1
1
2+1+am
3
3-an
2+/1+an
3-a>0 だから,
.3-an+1
m)
