Question

とろろ

数学の質問です
画像の青線から赤線への途中計算がどうなっているのか知りたいです。
自分では青線から赤線に辿り着けませんでした。
教えてくださいお願いします。

数列 {an}は 0<a<3, an+1=1+V1+an (n=1, 2, 3, …)をみたす
45 はさみうちの
ものとする。このとき、次の(1), (2), (3)を示せ.
X(1) n=1, 2, 3,
に対して,0<an<3
1カ-1
Y (2) n=1, 2, 3, … に対して, 3-a。s()(3-a)
(カー8)()=
入(3) lim an=3
n→ 0
(1) 漸化式から一般項を求めないで数列の性質を知りたいとき、
ず,帰納法と考えて間違いありません。
(2) これも(1)と同様に帰納法で示すこともできますが,「s」-
「=」としてみると, 等比数列の一般項の公式の形になっています。
(3) 44のポイントの形になっています。 臭いプンプンというところでしょう。
精講
解答
…① を帰納法で示す。
(i) n=1 のとき,条件より 0<a<3 だから, ①は成りたつ。
(i) n=k(k>1) のとき, 0<ak<3 と仮定すると,1<ax+1<4
(1) 0<an<3
22<ak+1<3
よって, 0<ax+1<3 が成りたつ.
(i), (i)より, すべての自然数nについて, ①は成りたつ。
(2) an+1=1+V1+an →3-an+1=2-V1+an 《まず, 左辺に3-an+1
をつくると
右辺にも3-am がでて
(2-1+an)(2+1+an)
2+/1+an
1<1+an<2-3<2+、1+an<4
3-an
右辺=-
2+/1+an
くる
(1)より
ード
1
1
2+1+am
3
3-an
2+/1+an
3-a>0 だから,
.3-an+1
m)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

(2)の解説の1行目に、3-a(n+1)=2-√(1+an)
という式がありますね
これの右辺を式変形したものが青線になっています

とろろ

ありがとうございます
分かりました