-
![]()
-
![]()
10 確率の最大値・
赤,青,黄3組のカードがある。 各組は10枚ずつで,それぞれ1から10までの番号がひとつず
つ書かれている。この30枚のカードの中からk枚(4≦k≦10) を取り出すとき,2枚だけが同じ番
号で残りの (k-2) 枚はすべて異なる番号が書かれている確率を(k) とする.
(1)
p(k+1)
p(k)
(4≦k≦9) を求めよ.
(2) pk) (4≦k≦10) が最大となるkを求めよ.
福岡教大/一部省略)
確率の最大値は隣どうしを比較
確率p (k) の中で最大の値 (または最大値を与えるk)を求める
問題では,隣どうし [p(k) と(k+1)] を比較して増加する [p(k) Sp(k+1)] ようなkの範囲を求
p(k)とp(k+1)の大小を比較すればよいのであるが,(k) と(k+1)は似た形をしているの
で
p(k+1)
p(k)
である.
を計算すると約分されて式が簡単になることが多い.
p(k+1)
p(k)
解答
(1) 30枚からk枚 (4≦k≦10) を取り出す取り出し方は 30C通りあり,これ
らは同様に確からしい。このうちで題意を満たすものは,同じ番号の2枚につい
て番号の選び方が10通りで番号を決めると色の選び方が3C2通り異なる番号
2枚について番号の選び方がC-2通りでそれを1つ決めると色の選び
方が3k-2通りある.
よって, p(k)=
10-3-9Ck-2-3-2
1⇔p (k)≦p(k+1)
A
30Ck
..
p(k+1)_ 9Ck-1・3k-1
p(k)
30Ck
30Ck+1 9Ck-2-3k-2
←10-3 を約分
(k+1)! (29-k)!
30!
9!
(k-2)! (11-k)!
1
--3 順に,
30!
k! (30-k)! (k-1)! (10-k)!
9!
3(k+1) (11-k)
30Ck+1
9Ck-2
最後の3は3-1 と 3-2 を約分.
30Ck, 9Ck-1,
(k-1) (30-k)
(2) p(k)≦p(k+1) ⇔
p(k+1)
p(k)
3(k+1) (11-k)
1⇔
-≥1
(k-1) (30-k)
p(k)>0, p(k+1)>0
①
⇔3(k+1) (11-k)≧(k-1)(30-k)⇔k(2k+1)≦63
5·(2・5+1)<636(2・6+1) であるから, ①を満たすkはk=4,5で ①の等んは4~9の整数
号は成立しない. よって
p(4)<p(5)<p(6), p(6)>p(7)>p(8)>p(9)>p (10)
となり,p(k)が最大となるには 6.
10 演習題 (解答は p.50)
当たりくじ2本を含む5本のくじがある. このくじを1本引いて, 当たりかはずれか
を確認したのち、もとに戻す試行をTとする, 試行 T を当たりくじが3回出るまで繰り
返すとき、ちょうどn回目で終わる確率をp (n) とする.
(1) 試行Tを5回繰り返したとき, 当たりが2回である確率を求めよ.
(2)n≧3として,p (n) を求めよ.
(3) p(n)が最大となるnを求めよ.
(芝浦工大)
回目が3回目の当たり
なので, それまでに当た
りは2回(3) は例題と
同じ手法を使う.
43
