例題
303
課題
03
例題 304 √n²+αが整数となる条件
次の値が整数となるような自然数nをすべて求めよ。
(1) √√n²-35
(2) √n²+24
思考プロセス
未知のものを文字でおく
(1) √n²-35 = m とおく=n²-35=m²となる自然数の組(n, m) を考える。
« ReAction 不定方程式は, ()( ) = (整数)に変形せよ 例題 302
(1) √n²-35mmは自然数)とおく。
両辺を2乗すると
n² - 35 = m²
n²-m²=35より
(n-m)(n+m) = 35
ここで, n, m は自然数であり, n²-m²>0より,n>m
であるから, n-m,n+mも自然数であり
n-m<n+m
よって
(ア)n-m=1,n+m=35のとき
2n=36 より
(n-m, n+m) = (1, 35), (5, 7)
(ア),(イ) より
したがって
(イ) n-m=5,n+m=7のとき
2n = 12 より
(n, m) = (18, 17)
よって
(n, m) = (6, 1)
(n, m) = (18, 17), (6, 1)
n=6,18
(VE 88)
(2) √n²2 +24=m(
両辺を2乗すると
m²-n² = 24 より
(m-n) (m+n)= 24
ここで,m,nは自然数であり, m²-n²>0 より m>n
であるから,m-n, m+nも自然数であり
m-n<m+n
また, (m-n)+(m+n)=2mは偶数であるから, m-n
+nの偶奇は一致する。
(m-n, m+n)=(2,12),(4,6)
(ア) m-n=2,m+n=12のとき
2m=14 th
は自然数)とおく。
n² + 24 = m²
80★★☆☆
(11/11), (18
≤0 となる自然数nは
存在しないから,mは自
然数としてよい。(||
n-m,n+m はともに
35=5.7 の正の約数であ
る。
■和が偶数である2数は
偶奇が一致する。
この考えを用いない場合
(m-n, m+n)
(1 24) (3.8)
