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演習 例題2243本の接線が引けるための条件 (2)
f(x)=x-xとし, 関数 y=f(x) のグラフを曲線C とする。点(u, b) を通る
線Cの接線が3本存在するためのu, vの満たすべき条件を求めよ。 また、
条件を満たす点(u, v) の存在範囲を図示せよ。
指針 前ページの演習例題223と考え方は同様である。
① 曲線C上の点 (t, f(t)) における接線の方程式を求める。
解答
f'(x)=3x2-1 であるから, 曲線C上の点の座標を(t, f(t))
とすると、接線の方程式は
y−(t³-t)=(3t²—1)(x−t)
すなわち
y=(3t2-1)x-2t3
この接線が点 (u, v) を通るとすると
よって
2t3-3ut'+u+v=0
よって
②1 で求めた接線が, 点 (u, v) を通ることから,t の3次方程式を導く。
③3 ② の3次方程式が異なる3個の実数解をもつ条件を,u, ひの式で表す。
******
-u³+u+v<0
√2+v < 0
-u³+u+v>0
g(0)g(u) < 0 から
(u+v)(-u³+u+v) <0
②でu=0 とすると v<0 となり,これを満たす実数は存在
しない。 ゆえに,条件 u≠0は②に含まれるから, 求める条件
は ② である。
[u+v>0
②から
ひ
または
=(3t2-1) u-2t3
3次関数のグラフでは、 接点が異なれば接線も異なる。
ゆえに,点 (u, v) を通るCの接線が3本存在するための条件
は,t の3次方程式 ① が異なる3個の実数解をもつことである。
よって, g(t)=2t3-3ut'+u+vとすると, g(t) は極値をもち, p.337 の例題 219 参照。
極大値と極小値が異符号となる。
g'(t)=6t2-6ut=6t(t-u) であるから
u=0 かつg(0)g(x)<0
[v>-u
ひ<-u
または
\v<u³_u
[v>u³_u
したがって, 点 (u, v) の存在範囲は
右の図の斜線部分。 境界線を含まない。
√3
3
VA
O
2√3
9
基本 219, 演習 223
2√3
9
3
◄y-f(t)= f'(t)(x-t)
前ページの検討 参照。
g'(t)=0 とすると
t=0, u
u=0のとき, t=0,uの
うち一方で極大 他方で
小となる。
|v=uuのとき
v=3u²-1
v=0 とすると
√3
3
u=±
u=±
√√3 のとき
3
v=F (複号同順
2√3
9
直線-uは曲線
原点Oにおける接続
