実数αが存在するための条件がD≧0となるのはなぜですか？（解説の8行目）

222 第3章 図形と方程式 例題 118 直線の通過領域 放物線 y=x2 上の2点A(α, o2), B(β, β2) , β-α=1 を満たしな (千葉大改) がら動くとき、直線ABが通過する領域を図示せよ. 考え方 解答 B-a β-a TASH したがって,直線AB の方程式は, y-d²=(2a+1)(x-α) つまり, y=(2a+1)x-o-α について整理すると, °+(1-2x)a+(y-x) = 0 ..... ① ①をxについての2次方程式とみて、判別式をDとすると 実数 α が存在するための条件は,D≧0 Y₁y=x²+ 与えられた条件を利用して、 直線AB の方程式をx, y, α で表す. この方程式をaについての2次方程式とみて、実数が存在するための条件を考える B²-a²_(B+a) (B-a)=a+B=a+(a+1)=2a+1 D=(1-2x)-4(y-x) ABの通過領=4²-4y+1≧0 したがって, Focus y≤x²+- 4 よって、求める領域は右の図の斜線 部分で,境界線を含む. 4 y=-a²+ (2x −1)a+x=-(a_²x =_=1 )² + x ² + 1 1/2/ 2 点 (x,y) が直線AB の通過領域に含まれる ⇔点 (x,y) を通る直線ABが存在する ⇔点 (x, y) に対して、 ①の実数解 α が存在する よって-(α-2x-1) 20 であるから, y=x+1 ≦0 x² 注〉線分 AB が通過する領域を考えてみる。 **** β-α=1 より = a +1 直線ABが通過 する 変数だとそもそもAB存在しないので 注》次のように考えてもよい。 直線AB について, x を固定して, α について整理すると, 10=A+ AISAIT 線分AB はつねに放物線y=x2 よりも上側にあ る。 つまり、y≧x2 これと、解y=x2+1/12 より,求める領域は右 の図の斜線部分, 境界線を含む. ほうらく 放物線y=x²+-を直線ABの包絡線という 直線ABが存在 する 点A,B が存在す る ↓ 実数 α が存在する y=x² + 1 800 1 YA √y=x² 4B Thi 例

例題253⑵で255のやり方をやるのはダメですか？ 初見でどっちかがいきなり出てきたら、どっちがどっちの解法ってわかるんですか？ 不定方程式です。

第8章 整数 例題 253 方程式の整数解 (1) 次の不定方程式の整数解を求めよ. (1) 2x-3y=21 考え方 (1) 2x-3y=21 を 2x = 3(y+7) と変形し、2と3は互いに素であることを利用する。 (2)xとyの係数に, 539=52×10+19 という関係がある. 解答 (1) 2x-3y=21 より, 2x=3(y+7) ・・・・・ ① ・① 2と3は互いに素であるから, xは3の倍数とな Focus (2) 52x+539y=19 る. したがって, kを整数として, x=3k とおける. これを①に代入すると, 2×3k=3(y+7) 2k=y+7 より, よって 求める整数解は, y=2k-7 よって, (2) 539=52×10+19 x=3k, y=2k-7 (kは整数) 2 (別解) 2x-3y=21 より, y=-x-7 yは整数より,xは3の倍数となる. したがって, x=3k (kは整数) とおけ。 y=2k-7 x=3k, y=2k-7 (kは整数) これを与えられた方程式に代入すると, 52x+ (52×10+19)y=19 整理すると 52(x+10y)=19(1-y) ...... ① 5219は互いに素であるから, x+10y は19の 倍数となり,kを整数として x+10y=19k, すなわち, x=19k-10y 52×19k=19(1-y) これを①に代入すると 52k=1-y より, y = -52k+1 よって, 求める整数解は, x=539k-10,y=-52k+1 (kは整数) xが3の倍数でないとき yは整数にならない。 xとyの係数の大きい方 の数 539 小さい方の乱 52 で割る. y=-52k+1 より、 x=19k-10y =19k-10(-52k+ =539k-10

(2)の赤文字がなぜそうなるのかわかりません！教えてください🙇‍♀️なぜ解をもたないと≦0になるんですか？

例題74 すべての実数で成り立つ不等式 次の条件を満たすような定数kの値の範囲を求めよ. (1) すべての実数xに対して, 不等式 x+kx+k+3>0 が成り立つ。 (2) 2次不等式 kx2+(k+3)x+k > 0 が解をもたない. 考え方 ■解答 Focus グラフが上に凸か下に凸かを調べ, x軸との位置関係に着目する。 与えられた2次不等式において, (左辺)=0 としたとき の判別式をDとする. (1) 2次関数y=x2+kx+h+3 のグラフが右の図のようになる ときを考えると, 求める条件は, J ( 2次の係数)>0 ...1 ID=k-4(k+3) <0 ...② ①は成り立つ. ②は, k²-4(k+3) <0 k²-4k-12<0 (+2)(6) <0より, よって 求めるの値の範囲は, (2) kx2+(k+3)x+k > 0 が解をもたない ⇒ すべてのxでkx²+(k+3)x+k≦0 0 2次不等式であるから, よって, 求める条件は, 2次の係数 k<0 D=(k+3)²-4k² ≤0·2 ②より k-1,3≦k これと①より, k≤-1 y=x2+hx+k+3 ax²+bx+c<0 ⇒ -2<k<6 -2<k<6 a0 のときすべてのxについて, ax²+bx+c>0⇔ y=kx²+(k+3)x+k 2次の係数 a>0 判別式 D< 0 x 2次の係数 a < 0 判別式 D<0 **** すべての実数で成り 立つ ⇔解はすべての 実数 2次関数のグ ラフは下に凸でx軸 と共有点をもたない a>0, D<0 2次不等式とあるの で k=0 の場合は 調べなくてよい。 (頂点のy座標 ) 20 つまり, 3 (k²-2k-3) 4k -≤0 でもよいが計算が頂 雑となるため, Dを 用いる. >ITC 注》〉例題74 (1) では、問題がx+kx+k+3>0となっているので、判別式DもD>0とか ん違いすることが多い. グラフをかいて、 しっかり判断することが大切.

私の場合分けの仕方はダメなんですかね？ ダメならなぜダメなのか理由と一緒に教えて欲しいです。回答を読んでもよくわかりません。

少する。 例題204 最大・最小の応用 (3) a≦x≦a+2 において, 関数f(x)=x4x の最大値を求めよ. (1) (1) a a+2 a sym f'(x)=3x-4 3325 (ii) de +2 2 = 3(x² - -/-/-) 3 = 3 (1+2+3)(x-²) 2√3 01+2 <- 左図 f(a+2) で最大値をとる f(①+2)=(a+24(a+2) = つまり a-2/ 0+60°+120+8-40+8 = 0°+60°+80+16 (ⅲⅱi) as-2 < at つまり書くの ミ <a+2 f(-3³) = -24³³ + 86- 24.3 8-√3 27 **** 左図よりf(-2)で最大値となる 2-2 at2 = かつ2017のつまり - 2 = a = 2/²2 - 2 art 2-√2 のとき 283-2のとき 左図より f(a)で最大値となる f(a) = 0 ³ - 4a (iv) 23 <a のとき flot2)で最大値をとる f10+2)=0 +60380 2-√3 このとき 8-3 qt q 24-3 16.3

四角で囲った部分の解説をお願いしたいです🙏 また、四角で囲った部分のやり方はガウス記号の問題でよくやるものなのかと、写真2枚目の解き方でも大丈夫なのかもお聞きしたいです。

例題274 ガウス記号の関び合す! (1) 正の実数xを小数で表したとき,次の値をガウス記号を用いて表せ。 (ア) 小数点以下を切り上げた数(イ) 小数第1位を四捨五入した数 (2) [x+y]-[x] - [y] のとり得る値を求め 2つの実数x,yに対して, JMich よ. 考え方 (1) (ア)は、たとえば、小数点以下を切り上げると2になる数は, 1.1, 1.8, 2 などが当て はまり,1は当てはまらないことから、1<x≦2を満たすxである。これを一般 の整数nについて考え, ガウス記号の定義を利用する. (イ)も同様。 「 解答 (1) (n-1<x≦n (nは整数)のとき,正の実数xの 小数部分を切り上げた数はnとなる. このとき, -n≦x<-n+1 より [-x]=_n_0=[x]=x₂ Focus よって, n=-[-x] より 求める数は SF n/12/xn+1/12 (nは整数)のとき,正の実数 -≤x<n+- 03010 -[-x] (イ) n-- xの小数第1位を四捨五入した数はnとなる.図ので 1037 このとき, n≦x+=<n+1 より, x + 1/ <₁ [x+]=n63333 530533, よって求める数は, [x+12] OB< (2) 0≦x<1,0≦β<1 とすると, x=[x]+α, y=[y] +β と表せるので, _x+y=[x]+[y]+a+ß (0≤a+B<2) (i) 0≦a+β<1のとき [x+y]=[x]+[y] (i) 1≦a+β<2のとき [x+y]=[x]+[y] +1 よって, (i), (ii)より, ガウス記号の定義を 利用できるように不 等式を整理する. [x+y]-[x]-[y]=0, 1 245 30->xS- (8) 120

下線部の水色の項数はどこからわかりますか？

例題 B1.8 既約分数の和 pは素数,m,nは正の整数でm<nとするとの間にあって, p を分母とする既約分数の総和を求めよ。 (同志社大) 解答) STAND 考え方 具体的な数で考えてみる。たとえば2と4の間 (2以上4以下) にあって5を分母と する数は, 10 Focus 11 17 18 19 (-2). 15 12 13 14 15 (-3). 16. 5. 5. 5. 20 (4) 55555 5'5'5'5'5 m以上n以下でpを分母とする数は, mp (= m). p 1 等差数列と等比数列 つまり、2.2+1/32+1/3 ......, 2+- となり、初項2. 公差 1/3の等差数列になって 10 5 いる. 項数は分子に着目して 11 (=20-10+1) 個である. これらの和を求めて, そのうち既約分数にならないもの(整数) を引くとよい . S2=120 mp+1 mp+2 p Þ つまり、初項m 公差 等差数列となる。 Þ 項数np-mp+1, 末項nであるから, その和S, は, S=1/12 (np-mp+1)(m+n)……① 1/² (n=m+1) (m+n) ......2 ....... 注 素数を分母とする真分数の和は, 12. p p よって、求める和をSとすると, ①, ②より、合 S=1/12 (np-mp+1)(m+n)-1/21(n-m+1)(m+n) + np-1 np (= p p また,このうち, 既約分数でない数は整数であるから, m,m+1,m+2, ......,n-1, n つまり,初項m, 公差1の等差数列となる. [ 項数n-m+1, 末項nであるから、その和 S2 は, としてもよい。 =1/(m+n)(np-mp+1-n+m-1) =1/12 (m+n)(n-m)(b-1) MD_R... 具体的な数で調べて規則性をみつける P (29) (=n) 1+2+ ...... p **** LED まずはすべての分数の 和を求める . (p-1)p か B1-11 公差の等差数列 p 項数をkとすると, n=m+(k-1) -1 1/13より、 k=(n-mp+1 だから, S₁=((n-m)p+1} -1) X (m+n) 分母が素数であるから, 既約分数でないものは mからnまでの整数に なる. 項数n- (m-1) S から S2 を引けば, 既約分数の総和となる. S=S-S2 練習 mnは自然数でm<nとする.mとの間にあって5を分母とするすべての B1.8 有理数のうち、整数にならないものの総和を求めよ。 (富山大) *** 200 bw== B1 B2 C1 C2 13161 1) 190, 2. HMON

1枚目の3,4と2枚目の6は何が違うのですか？過去分詞でも原形でも意味が同じっぽいので誰か教えてください

A〈知覚動詞+0+分詞〉、 〈使役動詞+0+過去分詞〉 1. I saw Steve waiting for a bus. S V C (現在分詞) 3. She had [got] her hair cut. S 'V Focus 106 2. Isaw the book advertised in the pa SVOC(過去分詞) C (過去分詞) 4. She had [got] her bag stolen. Siv VEE (過去分詞) 5. Can you make yourself understood in English? S V O C (過去分詞) 282) 1.2. <知覚動詞 +0+分詞> 1. Cが現在分詞の場合,OとCの間には能動の関係がある。 2. Cが過去分詞の場合, OとCの間には受動の関係がある。 → the book was advertised 3.~5. < 使役動詞 +0+過去分詞 > 3. 主語に意志がある場合は､0 を~してもらう [させる]」 という使役の意味を表す。 4.主語の意志とは関係ない場合は, 「O を~される」という被害の意味を表す。 5. 「O を ~されるようにする」 を意味する。 make oneself understood (自分自身を理解して (197031 oneself heard (自分の声を聞かせる) の慣用表現で使われることが多い。 B 分詞構文の形と働き → Steve was waiting al T 6. I walked around the town taking pictures. 7. Written in plain English, this book is easy to read [現在分詞を 過去分詞

(2)の(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)を詳しく説明して頂きたいです🙏 どうしてNが5の倍数だと言えるのかが分かりません…

副題 247 連続する整数の積・ 余りによる場合分け(2) ..... (1) が整数のとき,23²nは6の倍数であることを示せ。 (2) 解答 n と n +4 は一の位が一致するこ を任意の自然数とするとき, を示せ。 SVERRED え方 (1) 連続する3つの整数の積は6の倍数である。 (2)2つの自然数の一の位の数字が一致する2つの自然数の差が10の倍数 (1) 2n+3n²+n=(2n+1)(n+1)n={(n-1)+(n+2)}n(n+1) (2) =(n-1)n(n+1)+n(n+1)(n+2) Focus *** (n-1)n(n+1), n(n+1)(n+2) はともに連続する3つの整数の積である から、その積は6の倍数である. よって, 2n+3²+nは6の倍数である. (2) N=n²+4-n² <2, N=n(n-1)=n(n-1)n(n+1)(n²+1) in(n+1)は連続する2つの自然数の積であるから,整数Nは2の倍数であ る。したが · <[ +(AS+ªÅ£)E=1+0+0=(1+8)= 7 自然数nを5で割ったとき,余りは0,1,2,3,4のいずれかであるから, 自然数nは,5k, 5k+1,5k+2,5k+3,5k+4 (k は整数)のいずれかの形で 表せる. 4) + 1 $ (8 + x 8) = 1 =6(60+60+60° ここで,5k+3=5(k+1)-2 より,5で割って3余る整数は5k-2として よく,5k+4=5(+1)-1 より, 5で割って4余る整数は5k-1としてよい. (i) n=5k のとき,整数Nは5の倍数 (ii) +min=5k±2のとき,n2+1=(5k±2)2+1=5(5k²±4k+1) より,整数N は5の倍数 1+ (i)~(i) より , すべての自然数nに対して, 整数Nは5の倍数である。入して、 したがって、整数Nは2の倍数かつ5の倍数であり,2と5は互いに素で あるから Nは10の倍数である. 24365 よって、n+anは10の倍数より+4 一の位の数字は一致する. 224-643 21 12-80+ n+1=5k となり, 整数Nは5の倍数 n=5k±1のとき, 連続する3つの整数の積は6の倍数である 整数nを5つの型に分類 D 5k,5k+1,5k+2,5k+3,5k+4 (nは整数)と または, 5k, 5k±1,5k±2 (nは整数)

下線を引いた部分の解説をして頂きたいです🙇‍♀️ 下に文章でも書いておきました🙏 ・なぜ、奇数である時、各位の数の和が3の倍数か、末位1桁が5かをまず調べるのか ・17以下、19以下の素数で割れるか調べる際にどちらも2,3,5は飛ばしているのはなぜか

例題 236 合成数と素数 DS 200 3つの自然数 291, 323, 379 について, 合成数であるか, 素数であるか を調べよ. *** 9 考え方 素数は, 「2以上の自然数で, その数自身および1以外に正の約数をもたない数」であり、 解答 Cali Co 105 3 ass (1) SAM LORSMAS 58 (S) し、合成数は「2以上の自然数で, 素数でない数」である。 偶数は末位の数で判断できる。 奇数は各位の数の和が3の倍数か, 未位1桁が5かを まず調べる. 自然数nが合成数であるとき, nは以下の素数で割り切れる. MOOSE 100円 e o ass 291 について調べる。 291 の各位の数字の和は, 2+9+1=12, 12は3の倍 数より 291は3の倍数 よって,291は合成数である。に向かってて愛を 323 について調べる. の倍 323は235の倍数ではない.× 17 <√323 <18 であるから, 323が17以下の素数 7,11, 13, 17 で割り切れるかを調べると, 323=17×19 となる。 よって, 323 は合成数である。 379 について調べる. "p³ d 379 は 2,35の倍数ではない。 30 =p S= (i) xx (19379 <20 であるから, 379 が19 以下の素数 7, 11.192=361, 20²=400 13, 17, 19 で割り切れるかを調べると, いずれでも割り切 より, れない。10000g+10000+100c+10d 雪×よって, 379 は素数である Focus 28 ass (D) 目 数である S) 172=289,182=324 より, より <323 <182 172 $30S=p 8-19²<379<20² 焼ラメー d

写真の、考え方(2)のところに書いてある第k項の表し方がなぜこうなるのかが分かりません。教えてください🙏

例題 B1.19 この計算(2) 次の数列の初項から第n項までの和を求めよ (1) 9, 99, 999, 解答 [考え方 (1)9=10-1,99=100-1=10²-1, 999=1000-1=10-1 より、与えられた数列は, 10-1, 10²-1, 10³-1, となり, 第k項は,h=10^-1 となる. Focus (2)第k項は,14-- (1) 5 aħ=7(10*¯¹+10*¯²+ · · · · · · +10+1) と表される. GOR n よって,S,=Σ(10^-1)=210-21 k=1 k=1 k=1 与えられた数列の第k項を ak, 求める和を S, とする (1) a=10k -1 =7. よって、 k=1 (2) a=7(10^-'+10^-2+……‥+10+1) 1.(10^-1)_7 10-1 IMG 10(10"-1) 10-1 = GEOR (2) 7,77,777, ...... +1 n 7 81 Σark-|___ _ a(l—pn) 1-r =1/(10-1)=1/(10^-9n-10) (10-1) 個 ak=9999 9 "7 S,=260(10^-1)= 0.01 (109-10) k=19 09 -(10+¹-9n-10) |=9(10″+10+...... +10+1) 10-1 10−1=10^-1 (r≠1) =9. としてもよい。 **** 2-2 777=7×10°+7×10+7×1 =7(102+10+1) まず第k項を求める 10-10-10-¹ 初項 10,公比 10 の 等比数列 ( )内は逆から見 と初項1,公比1000 wwwwww 等比数列の初項から 第k項までの和 2 (10^-1)は10 À=1 果を使う.