31円 (Ⅲ)
2つの複素数z, w があって、 2つの式|z-i|=1, w=(1+i)zが成
(1) 2は複素数平面上で,どのような図形をえがくか:4
りたっている. このとき、 次の問いに答えよ
(2)は複素数平面上で,どのような図形をえがくか.
精講
(1)|z-i=1は,点ぇと点との距離がzの位置にかかわらず1
という意味です。
(2)解答は2つありますが,いずれも考え方は数学II の軌跡の考え
方(IIB ベク45) を使っています.すなわち, 他の変数を消去という
im-(-3)(0-3)
考え方です.
I. z=x+yi, w=u+vi とおいて,u, vの関係式を求める方法 (30
II. |z-i|=1 を利用して,|w-a|=r 型を目指す方法
2つとも解答にしてみますが,できるだけⅡIを使えるようになってくださ
解答
(1)|z-i|=1 より 点と点の距離はつねに1.
よって, zは点を中心とする半径1の円をえがく.
(2) (解Ⅰ)
z=x+yi, w=u+vi (x, y, u, vは実数) とおくと,
(1+i)z=(1+i)(x+yi)=(x-y)+(x+yi だから
w=(1+izより,u=x-y, v=x+y
1
.. x=
(u+v), y=(v-u) ......(*)
2
ここで,|z-i|=1 に z=x+yi を代入して
|x+(y-1)i|=1 :.x2+(y-1)^=1
(*)を代入して, 1/2(2+b2+1/2 (v-u-2)²=1
(u+v)²+(v-u)²-4(v-u)+4=4
2u2+2v2-4v+4u=0
vuをひとまとめ
にして展開すると
計算がラクになる
