S0-010-A10AX
10
る
4
問題
は でのxMAD1A-41C4-01
1辺の長さが1の正三角形 OAB があり三角形OABの内部および周からなる図形をTと
する。さらに,辺 ABに平行な直線/に関して図形Tと対称な図形を T' とする。直線!を
辺 OA(ただし,両端を除く)と共有点をもつように動かすとき, Tと T' の共通部分の面積
Sの最大値を求めよ。
(25 点)
ポイント
ー00
まずは,TとT' の共通部分の概形を捉えるのが第一歩。そのために,辺 ABに平行な直線しか
辺 OA と共有点をもつような図をいろいろとかいてみよう。すると,Tと T' の共通部分は下の図
のときを境にして“ひし形 ←→六角形”と変化する。
そして,最大値を求めるのが目標なのだから
T) A'
0
B'
“どのような図形量を変数として設定するか”
を考えるわけで
面積が立式しやすい変数の設定(41)
がポイント。「解答」では, 相似な図形に着目して相似比を考える。
O'
B
解答
辺 OA, OB と1の交点をそれぞれ P, Q とする。 OP =Dt (0<t<1)
とおくと
が OB とも交点をもつこと
は、対称性より明らかとして
よいだろう。
OP:PA =t:(1-t)
となる。
41
相似を利用するため, この
ように変数tを設定したわ
けである。
(i) 0<tS-のとき, TとT' の共通部分は下の図の斜線部のよう
になる。ここで
A'
B'
△OPQ の AOAB
であり,相似比は
P
OP:OA =t:1
である。したがって, T と T'の共通部分の面
積をSとすると
1-t
O'
A
B
;=Px(T の面積)
相似比がa:bのとき, 面積
比は a°:6 となる。
V3
S=
2
(T の面積)
=OA-OBsin 60° =
L0くtsのとき単調に増
であり,0<tSでSは単調に増加する。よって, 0<tいに
おいてSは1=
のときに最大となり, その値は
加することは, 図形的に明ら
かとしてもよいだろう。
V3
8
である。
