6|| 整数の性質(20 点)
10進法で表された自然数 M, N がある。 Mを5進法で表すと3桁の数 abces となり、
Nを4進法で表すと3桁の数 cbaw となった。
(1) a=1, b=2, c=3 のとき、M, N の値をそれぞれ求めよ。
(2) M+N=43 のとき,a, b,cの値をそれぞれ求めよ。また、このときの M, N の値を
それぞれ求めよ。
(3)(2)で求めたM,N の値に対して、xy-2x+13y =M-N とする。この方程式を満た
す自然数x,yの組 (x, y) をすべて求めよ。
配点
4点(2)
8点(3) 8点
解答
a=1, b=2, c=3 のとき
abcs)= 123), Sbac)- 321 (4)
5進法で表された数123を 10進法で表すと M であるから
M=1×5+2×5+3=38
4進法で表された数 321(を 10進法で表すと Nであるから
N=3×4"+2×4+1= 57
圏 M- 38, N= 57
完答への
道のり
A5進法で表された数を 10 進法で表して Mの値を求めることができた。
64進法で表された数を10進法で表してNの値を求めることができた。
5進法で表された数 abcmを10進法で表すと M であるから
M=a×5"+b×5+c
M, Nをそれぞれ 10進法の式で
表す。
=25a+ 56+c
4進法で表された数 cba を10 進法で表すと Nであるから
N=c×4"+b×4+a
=a+46+16e
よって
M+N=(25a+56+c)+(a+4b+16c)
26g+96+17c
M+N=43 のとき
26a+96+17c - 43
abe), cbaa が3桁の数より
a, cは、1, 2,3のいずれか
6は0,1, 2, 3のいずれか
である。
a21, c21より
26a+96+17c2 26-1+96+17-1
26g+96+17c N 9%+43
4abc は5進法,cbau は4進法
で表された数であるから a,b,cは
は
0,2,めいずれかであり,3桁
の数になるからa, cは0ではない。
4a21, c21 を利用して不等式
…の
をつくり、bの値をしばり込む。
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