Question

nico

中3の模試過去問です。
この問題はどのような考え方がありますか？
どなたか教えてください。

(カ) 右の図において, 三角形ABC は1辺の長さが12cmの正三角形
であり,点Dは辺 AB の中点である。
また,辺BC上に点EをBE: EC = 2:1となるようにとり, 線
分 CD と線分 AE との交点をFとする。
このとき,三角形 DEF の面積を求めなさい。
E

比

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ブドウくん

三角形の面積といわれたら、中学数学では
①直接底辺×高さ÷2で求める
②面積比を使う
のどちらかしかありませんが、この問題は比をめっちゃ教えてくれていて、面積比を使ってくれと言わんばかりの感じですね。一辺12の正三角形の面積は簡単に求めることができるので、△DEFの面積:全体の面積が求められたらすぐに求められます。

△DEFの面積比を求めるために、△DEFの周辺から情報を探ると、△EDF(さっき考えた△DEFと同じ)と△ECFはともに高さが共通なので、面積比は底辺DFとCFの比になります。DF:CFはメネラウスの定理を用いれば1:1だと分かるので、△DEFの面積を[1]とすれば、△EFCも[1]で、合わせてやると△CDEは[2]と表せます。

同じようなことを今度は△DEC(さっき考えた△CDEと同じ)と△DBEで考えてやれば、高さ共通なので底辺EC:BE=1:2が面積比になります。したがって、△DECが[2]だったので△DBCは[2]+[4]=[6]と表せます。

また同じことを△CBD(さっき考えた△DBCと同じ)と△CADでしてやると全体の△CABは[12]と表せます。

ゆえに、全体の面積:△DEF=12:1だと求まりました。

△ABC=36√3より、その1/12の3√3が答えです。

ブドウくん

写真は、自分が公開しているノートの1ページなのですが、このうちの高さ共通の面積比を繰り返し使っているだけの問題です。

nico

ありがとうございます！
載せてくださった写真の④はどんな三角形の形でも成り立ちますか？？

nico

それと、メネラウスの定理で、どうしてDF:CFが1:1だと求めることができるのですか？
教えて頂きたいです。

ブドウくん

④は共通な角があるときは成り立ちます。

メネラウスに関して、写真に載せましたが一応高校数学の内容なので、わからなければ２枚目写真のような補助線を引いてやってもよいです。メネラウスの証明とやっていることは同じです。

nico

なるほど！理解出来ました。
ありがとうございます！！