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NB
11 00000
基本例題 212 最大・最小の文章題(微分利用)
[類 群馬大
半径aの球に内接する円柱の体積の最大値を求めよ。 また, そのときの円柱の高
基本211
さを求めよ。
指針 文章題では, 最大値 最小値を求めたい量を式で表すことがカギ。 次の手順で進める。
① 変数を決め、 その変域を調べる。
小○
[②2] 最大値を求める量(ここでは円柱の体積) , 変数の式で表す。
32 の関数の最大値を求める。 なお,この問題では, 求める量が, 変数の3次式で表
されるから, 最大値を求めるのに導関数を用いて増減を調べる。
なお,直ちに1つの文字で表すことは難しいから、わからないものは,とにかく文字を使
PESERTA
って表し、条件から文字を減らしていくとよい。
解答
円柱の高さを2h (0<2h<2a) とし,
底面の半径をrとすると
r²=a²-h²
0 <2h<2a から 0<h <a
円柱の体積を Vとすると
V=лr².2h=2(a²-h²)h
=-2π(h³-a²h)
Vをんで微分すると
V'=-2π(3h²-a²)
・
=-2(√3h+α)(√3h-a)
0 <ん<a において, V'=0となる
のは,1/3のときである。
ゆえに, 0 くん<a における V の増
減表は,右のようになる。
よって
a
したがって,Vはん= 1/3 のとき最大となる。
体積の最大値
h
V'
V
-ла³,
こな
2√3
0
h=1のとき、円柱の高さは2.5-23 大
a
a
3
Q
+
a 4√3
a
=
体積は2ヶ(01/31 ) 1/35-4.3
√√3 9
4√3
9
そのときの円柱の高さ
a
√3
極大
3
a
計算がらくになるように
2h とする。
三平方の定理
変数の変域を確認
+183182x2S-
S
円柱の体積
=(底面積)×(高さ)
dv
dh
を V' で表す。
50=
h = 0, αは変域に含まれて
いないから 変域の端の値
に対するVの値は記入し
ていない。
今後,本書の増減表は, こ
の方針で書く。
12h
2π(a²-h²)h
基本
aを正
値MO
指針 文
(1) f
る
解答
(x)=3
x
(x)=(
0 で
右の
こで,
x)=-
えに
[
たが
11-
[3]
a
colo
上か
