考え方 等差数列や等比数列でないなど, 与えられた数列の規則がわかりにくいと言
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例題278 階差数列(1)
こん
次の数列の一般項 anを求めよ。
(1) 1, 7, 17, 31, 49, 71,
(2) 2, 3, 5, 9, 17,
as,
…, an-1, an,
{an} a
a3,
A4,
a2,
bn-1,
{6,}
数列(b,}を{an} の階差数列という.
b,b, ,b,
n-1
n22 のとき,an=Q:+(bi+bz+bs+…
+ bn-1)=ai+ 2 b
k=1
w
評答与えられた数列 {an} の階差数列を{b}とする. の
17, 31, 49,
71,
S1) {an): 1,
{ba):
7,
Q2
10,
14,
18,
22,
as
となり,数列{bn} は, 初項 6, 公差4の等差数列になっ
ba=6+(k-1)·4=4k+2
ているから, 第々項beは,
なっていしたがって, n22 のとき,
+)an
に
an-
n-1
n-1
an=Q+Zb«=1+ (4k+2) い
より,
k=1
k=1
=1+4(n-1)-n+2(n-1)%=D27"ー1
an=a
この式は, n=1のとき, a=2·1°-1=1 となり,
a=1 だから,n=1 のときも成り立つ。 S
よって,
(2) {an}:2,
{6}:
角形となり,数列{b.}は,初項1,公比2の等比数列にな
っているから,第ん項 bょは,
n=1 (
ックを
an=2n°-1
3,
5,
17,
9,
4,
1,
2,
8,
ba=1·2*-!=2*1
いま、 したがって, n>2 のとき,
ラミット a=a+Zb»=2+22*-!=?
が
M
n-1
n-1
1(2"-1-1)
k=1
an=a
2-1
開体の命
k=1
=27-1+1
等比数
この式は,n=1 のとき, a=2"-!+1=2 となり, - n=1
a=2 だから, n=1 のときも成り立つ、
よって, a=2"-1+1
|ックを
