基本 21 第々項にnを含む数列の和
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次の数列の和を求めよ。
1.(n+1), 2•n, 3.(n-1),
.......
(n-1)-3, n.2
基本1, 20 重要 32
1
章
指針方針は基本例題 20同様,第k項αをkの式で表し, Σαを計算である。
第n項がn 2 であるからといって, 第k項を k-2としてはいけない。
各項のの左側の数, 右側の数をそれぞれ取り出した数列を考えると
この左側の数の数列 1, 2, 3, ......, n-1, n →>>> →第k項はk
・の右側の数の数列 n + 1, n, n-1,......, 3,2
→ 初項n+1, 公差 -1の等差数列 →第k項は (n+1)+(k-1)・(-1)
これらを掛けたものが, 与えられた数列の第に項α [←nとkの式] となる。
また,2ak の計算では,kに無関係なnのみの式は ∑の前に出す。
k=1
この数列の第項は
解答
k{(n+1)+(k-1)・(-1)}=k+(n+2)k
したがって、求める和をSとすると
S= ½ {−k²+(n+2)k}=− Σ k²+(n+2) Σ k
k=1
k=1
.
= 1/13n(n+1)(2n+1)+(n+2) 1/12n(n+1)
=1/13n(n+1)-(2n+1)+3(n+2)}
n+2はんに無関係
→ 定数とみてΣの前に
出す。
11n(n+1)でくくり
{ }の中に分数が出て
こないようにする。
= n(n+1)(n+5)
別解 求める和をSとすると
S=1+(1+2)+(1+2+3)+
+ (1+2+......+n)
・+(1+2+....+n)
2 (1+2++k)+1/12n(n+1)
k=1
=1/2(k+1)+1/21n(n+1)
= (k²+k)+n(n+1)
2k=1
N
=
k+n (n+1)}
k=1
-112m(n+1)(2n+1) + 1/2n(n+1)+a(n+1)}
-1/12/13n(n+1){(n+1)+3+6)=1/2n(n+1)(n+5)
3種々の数列
1+1+1+······ +1+1
2+2+ ...... +2 +2
3+ ······ +3+3
+)
n+n
は,これを縦の列ご
とに加えたもの。
