重要 例題 50
平面上の点の移動と反復試行
右の図のように、東西に4本, 南北に4本の道路が
ある。 地点Aから出発した人が最短の道順を通って
地点Bへ向かう。このとき,途中で地点Pを通る確
率を求めよ。 ただし,各交差点で,東に行くか, 北
に行くかは等確率とし、一方しか行けないときは確
率1でその方向に行くものとする。
CHART & THINKING
求める確率を
A→P→Bの経路の総数
A→Bの経路の総数
解答
右の図のように,地点 C, C', P'をとる。
Pを通る道順には次の2つの場合があり,これらは互いに
排反である。
[1] 道順A→C→C→P→B
この確率は
ASSA
[2] 道順A→P′'′ → P→B
この確率は sc (1/2)(1/2)×1/23
よって, 求める確率は
1/1/1×1×1×1=1
4C3x1
とするのは誤り!
から,
6C3
この理由を考えてみよう｡
は、どの最短の道順も同様に確からしい場合の確率で,本問
は道順によって確率が異なるから, A→Bの経路は同様に
確からしくない。 例えば,
A↑ →→→P↑↑B の確率は
1/12/×/12/×/×/1/2
1/2×1/1×1×1=
A→→→ P11B の確率は 1/1/2×1/1/2×1/2×1×1×1=1/3
よって,Pを通る道順を, 通る点で分けたらよいことがわかるが,どの点をとればよいだろ
うか?
·X-
×
2 2 2
=
8
63
-X1X1=
1 3
+
5
8 16 16
016
A
1
16
(27
A
-DE
B
基本 48
B
が入る。
P
B
P' P
A
C' C
S
|C→Pは1通りの道順であ
ることに注意。
[1] →→→↑↑↑と進む。
[2] ○○○↑↑と進む。
○には2個と↑1個
はないため、
