例題158 三角関数の最大 最小 〔5〕･･･sin0 と cose の対称式
0≦0<2πのとき, 関数 y = sin20-2sin0-2cos0+1 について
(1) sin0 + cost=t とおくとき,yをtの式で表せ。 また,ものとり得る
値の範囲を求めよ。
(2) yの最大値,最小値,およびそのときの0の値を求めよ。
思考プロセス
例題
157
|対称性の利用
y = sin20-2sin0 - 2cos0+1
=2sin Acos0-2 (sin0+cos 0)+1
sin 0 と cos 0 の対称式
解(1) y=2sinocose-2(sino+cos)+1
例題
131
置き換えた
の範囲に注意
Action》 sin 0, cose の対称式は, t = sin0+ cos0 と置き換えよ
ここで, sin+cost = t とおき, 両辺を2乗すると
t²-1
=
sin Acose
2
1+2sin@cosa=tより
t-1.
2
よって
また
0≦0 <2πであるから
-√2 ≤t≤√2
π
4
y = 2.
t = sin+cos0=√2sin(6+4)
sin0+cos0=tとおく
(2)y=-2t=(t-1)2-1
右の図より, y は ① の範囲において
t=-√2 のとき 最大値 2+2√2
t=1のとき
最小値-1
0≦0 <2πより,
π
9
≤0+
4 4
- 2t+1=t² - 2t
したがって
....
t=1のとき sin (++)1/17
sin(0+1)
0 = 0,
TC
2
であるから
5
t=-√2のとき sin(6+4)-1より=
4
2
√20
2+2√2
√2
り0=0,
2
5
0 = πのとき 最大値 2+2√2
のとき 最小値-1
π
2
sin Acos0=|
π
y=(t)
2倍角の公式
yA
1
(sin + cos0)²
= sin20+2sinAcos0 + cos' f
=
=1+2sin@cost
√√2
π
10+
10+
の式
π 9
= 0 + < ²x kh
4
本より
-1 ≤ sin(0+4) ≤1
−√2 ≤ √ 2 sin(0 + ²) ≤ √2
π
4
1
π
4
より
x
||
3
---
π
3
π
4 4
・π
