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基本1
280
重要
例題 172 正四面体と球
1辺の長さがαである正四面体 ABCD がある。
(1) 正四面体 ABCD に外接する球の半径Rをαを用いて表せ。
(2) (1)の半径Rの球と正四面体 ABCDの体積比を求めよ。
(3) 正四面体 ABCD に内接する球の半径raを用いて表せ。
(4)(3)の半径の球と正四面体 ABCD の体積比を求めよ。
指針 (1) 頂点Aから底面 ABCD に垂線AH を下ろす。
外接する球の中心を0とすると,
OA=OB=OC=OD (=R) である。
また, 直線AH 上の点Pに対して,
PB=PC=PD であるから, 0 は直線AH上にある。
よって、直角三角形 OBH に着目して考える。
(2) 半径Rの球の体積は / TR
(3) 内接する球の中心をI とすると, Iから正四面体
の各面に下ろした垂線の長さは等しい。 正四面体を
Iを頂点とする4つの合同な四面体に分けると
(正四面体 ABCD の体積)=4×(四面体 IBCD の体積 )
これから, 半径r を求める
(例題 167 (3)で三角形の内接円の半径を求めるとき,
三角形を3つに分け, 面積を利用したのと同様)
(1) 頂点Aから底面 ABCD に垂線 AH を下ろし、 外接
B
B
(3) L
IA
解答
する球の中心を0とすると, 0は線分AH 上にあり
OA=OB=R
ゆえに OH=AH-OA= a-R
√6
<AH=
√6
3
3 a,
△OBH は直角三角形であるから, 三平方の定理により
BH2+OH' = OB'
BH= a
は基本例
2
170 (1) の結果を用いた
よって
a-R=R2
整理して 2-
2√6
-aR=0
a
3
ゆえに
3
R=
√√6
a=.
2√√6
a
B
4
(2) 正四面体 ABCDの体積をVとすると
また、半径Rの球の体積をV とすると
=
V₁=
---
よって
V1:V=
√6
8
√2
V=
-a3
12
=
8
√2
3 :
12
a³=9π: 2√3
V
(4)
W
√2
<V= -αは基本
12
170 (2) の結果を用い
練習
③ 172
