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x-1
0000
とする。
よびそのときの
方 OP2 を表す
この円が領域
重要
例題
126領域と分数式の最大・最小
xりが2つの不等式x-2y+1≦0, x2-6x+2y+3≦0 を満たすとき,
|最大値と最小値,およびそのときのx, yの値を求めよ。
指針
y-2
x+1
基本122
y-2
連立不等式の表す領域Aを図示し, -=kとおいたグラフが領域Aと共有点をも
x+1
つようなkの値の範囲を調べる。 この分母を払ったy-2=k(x+1)は,点(-1,2)
を通り、傾きがんの直線を表すから,傾きんのとりうる値の範囲を考えればよい。
201
CHART 分数式
y-b
3y=-12,
y=9
x=3,y=6
v=9, x+5y=1
x=2,y=1
y=7,
線の交点について
の最大最小
y-b
x-a
=kとおき, 直線として扱う
の式で表せる
x-2y+1=0
①, x2-6x+2y+3=0
とする。 連立方程式 ① ② を解くと
解答
...... ②
yA
(x,y)=(1,1) (4,22)
P
①
5
②
By=-12
x=-3, y=1
=kとおくと
ゆえに、連立不等式 x-2y+1≦0, x2-6x+2y+3≦0 の表
す領域Aは図の斜線部分である。 ただし, 境界線を含む。
y-2
1
3
2
32
最大
x+1
y-2=k(x+1)
3
3章
1 不等式の表す領域
11,21通って傾きk
半径)=kが最大
すなわち
y=kx+k+2
......
③③
③は、点P(-1,2)を通り, 傾きがんの直線を表す。
図から, 直線 ③が放物線 ② に第1象限で接するとき k
の値は最大となる。
y)²+ y²=k
を使わない方法
通り 直線②
② ③からy を消去して整理すると
x2+2(k-3)x+2k+7=0
直線の方程式は
-0)-(y-0)
4
D 11=(k-3)-1 (2k+7)=k-8k+2
k(x+1)-(y-2) = 0 は,
x=-1, y=2のときん
についての恒等式になる。
→kの値に関わらず定
点(-1, 2)を通る。
このxの2次方程式の判別式をDとすると-21k-3)-2(4-5-3)
2.1
2
y=5x
-2+2x
②連立し
26yam
接点の座標であ
直線 ③ が放物線 ②に接するための条件はD=0であるか
ら, k-8k+2=0 より k=4±√14
第1象限で接するときのkの値は
2
√14-1
k=4-√14
小値が求められ
①に代入して
このとき、接点の座標は (y14-1.4.14-12)
次に,図から、 直線 ③ が点 (1,1) を通るとき, kの値は最
小となる。このとき17--1/
k=4+√14 のときは,
第3象限で接する接線と
なる。
重解求める
ミニだけでOK
◄k=
y-2
x+1
よって
x=√14-1,y=4√14-12 のとき最大値 4-14;
x=1, y=1のとき最小値- 12/2
2+2(K-31x+2K+7:0
axbxe+50
の解
練習
x=1
2A
126
x,yが2つの不等式 x+y-2≦0, x2+4x-y+2≦0 を満たすとき,
y-5
の最大値
x-2
と最小値, およびそのときのx,yの値を求めよ。
点(x,y)が
(東京理
D-210 EX
