なぜ最大値Мは2の場合分けをし、最小値мは4で場合分けをするのでしょうか？

実戦問題 10軸が変化する2次関数の最大・最小 αを定数とする。 2次関数 f(x)=x2+2ax+3a² -4 の区間 0 x 4 における最大値を M, 最小値をmとする。 (1)a=-1 のとき,M=ア, m= イウ である。よやうく よか (2) 放物線y=f(x) の頂点の座標は I a, オ a² - 力 )であるから, 最大値 M は α キク のとき M=T α キクのとき M= a² + シ a+ スセとなる。 また, 最小値mは α <ソタ のとき m = ■チ a² + ツ α+テト [ソタ Sa<ナ のとき m= Ja²- a≧ナのとき となる。 m=ネ Ja² (3) αの値が変化するとき,M-mは α = ハヒのとき最小値をとる。 解答 (1)a=1のとき f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2 よって, f(x) は区間 0≦x≦4 において 最大値 Mf (4) = 7, 最小値m=f(1)=-2 (2) f(x)=(x+α)2 + 24°-4 と変形できるから y y=Ax) [01 4x 放物線y=f(x) の頂点の座標は (-a, 2a²-4) -2 Kev x 区間 0≦x≦4の中央の値はx=2であるから,f(x) の区間 M は における最大値 (i) y=f(x) (i) a > 2 すなわち a < 2 のとき M=f(0)=3a2-4 (ii) すなわち a≧-2のとき M=f(4)=3a2+8a + 12 の≦2 次に,f(x) の区間 0≦x≦4 における最小値mは 大 0 214 x a Kev () -α > 4 すなわちα <4のとき (ii) y y=f(x)! m=f(4)=3a² + 8a + 12 (iv) 0 < a4 すなわち 4≦a <0 のとき m = f(-a)=2a²-4 ≤0 (v) as すなわち a≧0 のとき m = f(0)=3a²-4 (3) (2) の (i)~(v)より, M-m の値は (ア) a <-4のとき M-m=3a²-4-(3a²+8a +12) =-8a-16 (イ) -4≦a <-2のとき M-m 3a²-4-(2a2-4) = a² (ウ) −2≦a < 0 のとき M-m=3a+8a + 12-(2-4) = (a+4)2 (エ) a≧0 のとき M-m 3a²+8a+ 12-(3a² - 4) =8a+16 (ア)~(エ)より, M-mのグラフは上の図のようになる。 グラフより, M-mは α=-2 のとき 最小値4 攻略のカギ! 4 20 ( y M-m4 y=f(x) の 夢 0 4+ -a 16 (iv) YA y=f(x) 14 (v) 43 2 10 a y=f(x) By 1 区間における2次関数の最大・最小は、軸と区間の位置関係を考えよ 7 (p.18) -a4 4

(4)についてです a^6が1になって、a^5が5になるのはなんでですか？

基本 例題 124 割り算の余りの性質 は整数とする。 α を7で割ると3余り, 6を7で割ると4 次の数を7で割った余りを求めよ。 1) a+26 針 (2) ab (3) a 00000 リリ #4) 2021 /p.536 基本事項 1.3 前ページの基本事項の割り算の余りの性質を利用してもよいが,(1)~(3) は, a=7k+3,b=7l+4と表して考える基本的な方針で解いてみる。 (3)(7k+3)を展開して, 7×○+▲の形を導いてもよいが計算が面倒。α* = (q2)" に 着目し,まず,2を7で割った余りを利用する方針で考えるとよい。 (4) 割り算の余りの性質 4αをmで割った余りは,r をmで割った余りに等しい を利用すると、 求める余りは 「32021 を7で割った余り」であるが,32021の計算は不可 能。 このような場合,まず α を mで割った余りが1となるnを見つけることか ら始めるのがよい。 CHART 割り算の問題 A=BQ+R が基本 537 (割られる数) = (割る数)×(商)+(余り) a=7k+3,b=71+4 (k, lは整数) と表される。 (1) a+26=7k+3+2(71+4)=7(k+2l)+3+8 7(k+21+1)+4 したがって, 求める余りは (2) ab=(7k+3)(71+4)=49kl+7 (4k+3l)+12 =7(7kl+4k+3+1) +5 って、求める余りは 5 k+3)2=49k²+42k+9=7(7k²+6k+1)+2 a2=7m+2(m は整数) と表されるから a=(a²)²=(7m+2)²=49m²+28m+4 =7(7m²+4m)+4 別解 割り算の余りの性質 を利用した解法。 (1) 2を7で割った余りは 2(2=7.0+2) であるか ら 26を7で割った余 りは2･48を7で割っ た余りに等しい。 ゆえに, α+26を7で 割った余りは3+1=4 7で割った余りに等し よって、 求める余りは okth したがって, 求める余りは ( (4)(3)より, α を7で割った余りが4であるから, で割った余りは 437で割った余り5に等しい。 ゆえにαを7で割った余りは5･3を7で割った余り 1 に等しい。 ®を7 (2) abを7で割った余 は3・4=12を7で割 余りに等しい。 よって、 求める余り Q2021 (α6)336.αであるから, 求める余りは, 1336.5=5 を7で割った余りに等しい。 (3)αを7で割った は3=81 を7で割 余りに等しい。 よって、 求める余 したがって、求める余りは 5

オレンジ色の所のaの場合分けはどうして分けてるんですか？？この辺が何をやっているのかよく分かりません(;;)

E [4] 2次関数 f(x) = x2 +α + b の最小値が0.2次関数 g(x)=-x 2 + c + d の最 大値が0 で, 関数f(g (z)) の最小値が4, 関数 g (f(x)) の最大値が-1であるとき、 a = 23 24 b= (25 26 C=(27) 28 d=29 30 である. 4 解答 23・24-4 25 26. +4 27 28. -2 29.30. -1 《関数の決定≫ ≪解説≫ ƒ (x) = (⑰+ 2)². 9 (x) = − (x−−2)² 条件より2つの関数を 16)=(1+2). とおくことができる。 ↓900=ぶち込む これできなかった。 Now - 1 + $ 4 4 3 1 + 2 + 1 4 f(g(x)) を (x)の2次関数だとみて、最小値を求める。 A-A+ (A-2)² 40のとき(x-23-2で最小値0 = a<0 のとき,(x=0で,最小値 4 条件より最小値は4である。 -=4より a = -4 4 また f(x) = (x-2)2=x-4x+4 . b=4 g (f(x)) についても同様に考える。 日本大理工 〈CA方式> 2016年度 数学 <解答> 73 9 ( ƒ (x)) = − {(x + 2)² — } = − ( x + 2)² + c ( x + 2)² - 4² c>0のとき (x+2)-1/2で最大値 0 = c<0のとき(x+2) =0で最大 4 条件より最大値は-1である。 C2 -=-1より 4 c = -2 また g(x)=(x+1)=-x²-2x-1 b=0d=0

(1)について、なぜ私の答案のように、二式を足すと答えが出ないのでしょうか。

12 漸化式/誘導つき (置き換え ) 数列{an},{bm}は,初項がα=1, b1=0であり,次の関係式を満たす. an+1=5an+46m, bn+1=an+56m (n=1, 2, 3, ...) (1) an+1+abn+1=β(an+abn) (n=1, 2, 3, ...) を満たす実数αとβの組を2つ求めよ. (2) 数列{an}, {bm} の一般項を求めよ. (3) 24を求めよ. (徳島大 総科, エー後) k=1 数列の置き換え 数列を置き換えて,一般項の求めやすい形にする. 等比数列に帰着できるような 誘導がついていることが多い. 典型題に慣れておこう. 連立漸化式 an+1=pan+gbn...... ア, bn+1=gan+pbn イ の形の連立漸化式はノーヒントで 出題されることがある.これは,+から{ay+b,}, アイから{an-bn}が等比数列になり解決する. 解答 (1) n+1=5an+46n, bn+1=an+56m より, an+1+αbn+1=(5an+46m)+α(an+5bw)=(5+α)an+(4+5a)bn これがβ(an+abn) に一致すればよいので 5+α=β,4+5α = aβ βを消去して, 4+5α=α(5+α) よって, (α, β)=(2,7), (-2,3) .. α2=4 α=±2 ←一般に,このような連立漸化式は, これを満たすα, β を求めること で,一般項を求めることができる.

数列は基本的にa_nとa_(n+1)で解き進めるそうです。今回、a_nとa_(n-1)で解きましたが、この解き方がダメなのは、n=2,3のとき不成立だからでしょうか？ そしてこれは数列は基本的にa_nとa_(n+1)で解かなければいけない、普遍的な理由になり得ますか。

4' 1 bm= とおくと, bm+1=56+1 ...... ② だから, an 4 ba+1+1/2-5 (00+1) =5"-bi 4 6.+1-5-1(1+1)-50-1 (1/2+1/2)-1/50-1 3 == ・5n-1 4 4 1-8 ②③より変形する. {bn+1}は公比5の等比数列 <b₁= -1-1 a1 .. 4 b=-5-1-1-3-5-1-1 (2) a1=2, nan+1=(n+1)an+1 4 .. an 4 4 3.5"-1-1 ・④ 階差型になる. (+) = (108) 5. +1+ 1 n+1=out-2より {bm+/12}が定数数列としてもよ い ---2 1 THE あにまん ④ を n(n+1) で割ると, an+1 an 1 + ↓ n+1 n n(n+1)=( ant pant time an 'bn=- n とおくと, bn+1=bn+ 1 n(n+1) bn+1-bn= 1 よって, n≧2のとき, (n+1) k=1 bn=b₁+" (b+1-br)=2+ n-1 •=2+ b. - k(k+1) 2+(1/ =2+ 1 1 (n-1)+1 =3-- (n=1のときもこれでよい ) n :.an=nbm=3n-1 11 演習題 (解答は p.76 ) 次で定義される数列{4} の一般項を求めよ. 0 (1) 例題 (1) に似てい る. (2) 2との関係 an-1 (1) a1=8,4n= (n=2, 3, ...) (津田塾大 国際関係) (n-1)an-1+1 (2) a1=3,aman+1=5.22n-1 (n=1,2,3, ...) (信州大・理) は? 66

演習15で、両辺に√nをかけた不等式について、n=kの時に両辺に√(k+1)を加えて証明しようと思いました。(今まで解いていた問題だとこのような解き方でしたので…) そうしたら3枚目の最後の式から0以上であることを言えないために、証明できませんでした。 みなさんはどの時点... 続きを読む

3 となるので,①は成り立つ。 1 1 +... + <2- 12 22 ne n 1 n=2のとき, 1 + 5 12 4 22 , 1 = 2- 2 2 n=k(k≧2) のとき, ①が成り立つとすると, 1 1 1 ・+・・・+ <2- 12 22 k2 k ①でn=k+1とした式 1/3+/12/2++//+(k+1)= 1 1 1 <2 3 k+1 を②から導けばよい. ここで,②③の左辺どうし,右辺どうしの差を不等号で結ぶと, (k+1)2 < (2-1+1)-(2-1) 4 ④が成り立つことが示せれば, ② + ④ から ③ を導くことができる.そこで, ④ を示すことを目標にする. そのためには, (④の右辺) (④の左辺) > 0 を示せ ばよい. = (2)-(2)-(1) (k+1)2-k(k+1)-k k(k+1)2 1 1 1 1 k k+1 (k+1)2 1 >O k(k+1)2 よって、 ①は数学的帰納法によって証明された. 注②の両辺に 1 (k+1)2 を加えると, 1 1 1 12 + +…+ + 22 k2 1 (k+1)2 1 <2- + k (k+1)2 1 1 これから 2 + <2- k (←④) を示せばよいとしても (k+1)2 k+1 よい。 15 演習題 ( 解答は p.78) ← ③の左辺は、②の左辺に 1 (k+1)2 を足したものなので ②と③の差に着目する. <a<bかつc <d ⇒ atc<b+d という不等式の性質を用いている。 1+√2+√3+√m 数列 {a} を am= で定める.このとき, すべての自然数nに n 2n 3 ついて、不等式 2/ <a が成り立つことを,数学的帰納法によって証明せよ。 帰納法の使いやすい形に (信州大・医一後) して証明する. 70

こう因数分解するときどうやって考えますか？？

(3) 直線 l と曲線Cの共有点のx座標は, 方程式 Cx4-2x3=(403-602)x-3a4+403 すなわち EI DS (x-α)2{x2+2(x-1)x+3a2-4a}=0 の実数解である。

数学的帰納を使う問題です。答えはわかっているのですが、そこまでのやり方がわかりません。詳しく解説していただくとすごくありがたいです🙇🏻‍♀️🙇🏻‍♀️🙇🏻‍♀️ 2枚目の写真は問題の内容が違いますが、この内容で問題を解くらしいです。お願いします🤲

21 15 問 問4 45 05 a1=2, an+1=-an+2n+3 で定められる数列{a} の一般項を推定し、そ れが正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ。 50-ST p.415]

(2)を解きましたが間違いでした。a_(2n-1)=bkと数列を置くところが違うのでしょうか。

1+1 (1) q=1より, a2=a+- =2,as=a2+/2/2=3 2 4 3+1 a=a3+ =5, as=a4+2 -=7,as=as+ 5+1 2 =10, a₁ = a+ 6 =13 (2) n=2k-1のとき, (2k-1)+1 a(2k-1)+1=a2k-1+ a2h=a2k-1+k 2k n=2kのとき,2k+1=azk+ =a2k+k 2 ①,②より,azk+1=a2k+k=(azk-1+k)+k=azk-1+2k n≧2のとき、 azn_1=a1+(ag-a)+(a5-a3)+..+(azn-1-a2n-3) n-1 n-1 fch-in) Q- =a1+ (azh+1-a2n-1)=1+2k=1+2(n-1)n k=1 =n2-n+1 (n=1のときもこれでよい) ①から, azn=azn-1+n=n2+1 ③ ④ n=20 として, α39=202-20+1=381, a = 202+1=401 (3) ③, ④より 20 n=1 20 (a2n-1+a2n) = (2n²-n+2) =(2n²-n+2) n=1 =2.11.20-21-41- 1 ・20・21+2・20=5570 3 奇数項についての漸化式を立て て奇数項を求める。 偶数項は奇 数項からすぐに分かるので, 偶数 項についての漸化式は立てる必 要はない. Σa=na k=1 13 演習題(解答は p.77) 次の漸化式によって定義される数列{a} (n=1, 2, ･･･) について,次の問いに答えよ. 1 a1=4, a2n=/azn-1+n2, azn+1=4a2n+4(n+1) (1) 2, 3, 4, 5 を求めよ. It (2) azn, a2n+1 をnを用いて表せ。 (2) 奇数番目の項だけ (3){a} の項で4の倍数でないものは, nの値が小さいものから4項並べると, a, ao, ao, ao Ths. に着目する. (3) 2+1 は漸化式か (類 松山大薬) 88 68

階差数列を考える時、2枚目の3行目の赤ペンが入っている階差数列を3枚目の階差数列として解いてしまいました。 なぜ3枚目だとダメなのでしょうか。項数が違ってしまうとかでしょうか…

2) a1=2, na,+1=(n+1)an+1 ④をn(n+1)で割ると, bn = an n an+1 an 1 = + n+1 ” とおくと, bn+1=bn+ よって,n≧2のとき, n(n+1) n 1 n(n+1) 1 :.bn+1-bn= n(n+1) 1 n-1/1 1 =2+ Σ k=1k k+1 1-by)=2+2k(k+1) bn=b₁+(b+1-br) bn=b₁+ (bk+1-bk)=2+ Σ 1 =2+ 1 (n-1)+1 1 =3- (n=1のときもこれでよい) n ∴an=nbn=3n-1 11 演習題 (解答は p.76) 次で定義される数列{an} の一般項を求めよ. an-1 (1) a1=8, an= (n=2, 3, ...) (津田塾大・目・大 (n-1)an-1+1 (2) a1=3, anan+1=5・22n-1 (n=1, 2, 3, ...) (信州訃) 66