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7 円の一部-
rを正の定数とする. 2つの曲線C1:y=
接線を持つとする.
(1) 共有点の座標とyの値を求めよ.
(2) C と C2 で囲まれる図形の面積Sを求めよ.
y=
2.x²
x2+1
解答
(1) G と C2 の共有点を T. そのx座標を1とする. C2:x2+y²=2(y≧0 )
は半円なので, Tにおける C2 の接線と半径OT は垂直である.
よって,C の Tにおける接線は直線OT である. C について,
S
2
円を活用する
る。 まず, (共有点で) 接線が直交することを
を通る,ととらえよう (円の接線と,その接点を通る半径は垂直だから:解答の
図参照). (2)では、円に関わる部分の面積は,図形的に求めることができる.
演習題は.fo" fr2-sdr を円(の一部)の面積とみるとよい(右図)。
-=2-
であるから,
2.x
y'=-2(-1)--
(x^2+1)²
よって, 直線OT の傾きについて
2t
(12+1) 2 12+1
1
2
x2+1
45゜
C2
1
√2
(名工大)
Y
y=√√√√x²-x2
例題では、C2が州門である(r2+y2,y≧0) ことに着目すると計算が簡単にな
よって,共有点の座標は (1,1)と(-1.1) で, r=√2
(2) C, C2 ともy軸対称であるから, x≧0の部分を計算する.
YA
ya
(第1項) =(√2)2..
(第2項)=f'(2-
1
1
O
4x
(x^2+1)2
∴.2=f2+1
1
C1
4.
1
+
8 2
2.x²
2+1.
において,
·1·1=
1-1=44 +12/2
S(2-1241) dx=2-25021
x2+1
1
cos2日
従って, 求める面積は, S=2 (①-②
C の接線が 2 の中心
共有点での
=
C2:y=√ra-x2が共有点で互いに直交する
3
2
∴.t=±1
-dx
+1²
T
1
=2-2
-2² tan²0+1 cos²d0-2-2-2-2-4
-3
C2
・=2-
π
yA
O
Xx
O
k
(−2(2+1)-1)、
x
(接線の傾き) = (OTの傾き)
どちらも C を用いる.右辺は
であることを利用
22
T(1. +2+1
した.また,図より/+0.
① ←扇形 + 直角二等辺三角形
15
x=tan0 と置換.
d.x
1
x 0→1
do cos20. 00→ / 4
インテグラルの中は1になる。
