Question

さこ

(2)の積分して面積を求める問題についての質問です。
自分で計算したらおかしなことになりました。

解答の計算過程は自分が考えたものより効率的だし、どうしてそうなるのか理解できています。

ただ自分の計算方法の中で具体的に何が間違っているのかよくわからないです。

わかりやすい言葉でどなたか丁寧に教えてください🙇🏻‍♂️

1) そもそも【半円の式-曲線C1】を積分しているのがおかしいのでしょうか🤔(ピンクの部分)

2) また私は緑の部分をそれぞれ赤部分に変形させたのですが、微分して戻すとその式になるのにどうして結果が変なことになるのでしょう。

7 円の一部-
rを正の定数とする. 2つの曲線C1:y=
接線を持つとする.
(1) 共有点の座標とyの値を求めよ.
(2) C と C2 で囲まれる図形の面積Sを求めよ.
y=
2.x²
x2+1
解答
(1) G と C2 の共有点を T. そのx座標を1とする. C2:x2+y²=2(y≧0 )
は半円なので, Tにおける C2 の接線と半径OT は垂直である.
よって,C の Tにおける接線は直線OT である. C について,
S
2
円を活用する
る。 まず, (共有点で) 接線が直交することを
を通る,ととらえよう (円の接線と,その接点を通る半径は垂直だから:解答の
図参照). (2)では、円に関わる部分の面積は,図形的に求めることができる.
演習題は.fo" fr2-sdr を円(の一部)の面積とみるとよい(右図)。
-=2-
であるから,
2.x
y'=-2(-1)--
(x^2+1)²
よって, 直線OT の傾きについて
2t
(12+1) 2 12+1
1
2
x2+1
45゜
C2
1
√2
(名工大)
Y
y=√√√√x²-x2
例題では、C2が州門である(r2+y2,y≧0) ことに着目すると計算が簡単にな
よって,共有点の座標は (1,1)と(-1.1) で, r=√2
(2) C, C2 ともy軸対称であるから, x≧0の部分を計算する.
YA
ya
(第1項) =(√2)2..
(第2項)=f'(2-
1
1
O
4x
(x^2+1)2
∴.2=f2+1
1
C1
4.
1
+
8 2
2.x²
2+1.
において,
·1·1=
1-1=44 +12/2
S(2-1241) dx=2-25021
x2+1
1
cos2日
従って, 求める面積は, S=2 (①-②
C の接線が 2 の中心
共有点での
=
C2:y=√ra-x2が共有点で互いに直交する
3
2
∴.t=±1
-dx
+1²
T
1
=2-2
-2² tan²0+1 cos²d0-2-2-2-2-4
-3
C2
・=2-
π
yA
O
Xx
O
k
(−2(2+1)-1)、
x
(接線の傾き) = (OTの傾き)
どちらも C を用いる.右辺は
であることを利用
22
T(1. +2+1
した.また,図より/+0.
① ←扇形 + 直角二等辺三角形
15
x=tan0 と置換.
d.x
1
x 0→1
do cos20. 00→ / 4
インテグラルの中は1になる。

(2)
£₁ (√₂=X²_2R²³) dx
いざや
S₁-1₁ ²1
S²₁ (2-x²3=dx - √²/2² 2²₁ A
3-₁f2da
+5² ²2²,
- [20]'₁ + [x! Seg|na||]!
=) - {2- (-2)} + { log2 - (_log2)}
33/3² + 2,0092²-4
ord
= ²³²3₁
青
da
dx
(-1/2-(32)

積分法 面積 半円

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ふぃる

1)立式は合っています。

2)恐らく辻褄を合わせるために3xで割ったり、xで割ったりしたのだと思いますが辻褄合わせに割ってよいのは定数です。赤の微分をしようと思うと積の微分法を使いますので緑の形に戻りません。
√(x－a)²－b²の形の積分はx＝√bcosθ＋aまたは√bsinθ＋aと置換して積分するとうまく行くと思います。
今回はx＝√2sinθ(－π/2≦θ≦π/2)か√2cosθ(0≦θ≦π)と置けばうまく行きます。sinの方でやってみます。
∫[－1→1]√(2－x²)dx
＝∫[－π/4→π/4]√(2－(√2sinθ)²)×√2cosθdθ
＝∫[－π/4→π/4]√2×√(1－sin²θ)×√2cosθdθ
＝2 ∫[－π/4→π/4]cosθ×cosθdθ
＝2 ∫[－π/4→π/4]cos²θdθ
＝2 ∫[－π/4→π/4]((1＋cos2θ)/2)dθ ←半角の公式
＝∫[－π/4→π/4](1＋cos2θ)dθ
＝[θ＋1/2×sin2θ](－π/4→π/4)
＝(π/4＋1/2)－(－π/4－1/2)
＝π/2＋1
となります。確かに解答の第一項の2倍になってます。
分数関数の方は解答の通りです。

さこ

なるほど。定数以外のものを辻褄合わせに使ってはいけないのですね。
たしかに積の微分法を使ったら元に戻りませんね🧐
丁寧に解説してくださってありがとうございます🙇🏼‍♂️