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基本 24 数列の和と一般項、部分数列
00000
初項から第n項までの和 Sm が Sn=2nnとなる数列{am} について
(1) 一般項an を求めよ。
(2) 和α+αs+ast・
+αzn-1 を求めよ。
P.439 基本事項 基本48、
指針 (1) 初項から第n項までの和S, と一般項 αの関係は
n≧2のとき
S=atat......tan-itan
-)SH-1=a)+a2+... +an-1
Sn-Sn-1=
n=1のとき a₁ = S₁
an
よって α=S-S-1
和 Sm がnの式で表された数列については、この公式を利用して一般項 αm を求める。
(2)数列の
をkの式で表す
まず一般項(第k項)
第1項,第2項,第3項,
第k項
a1;
a3,
as,
.......
a2k-1
であるから, a n=2k-1 を代入して第ん項の式を求める
なお, 数列 α1,α3, as, ......, Q2 1 のように, 数列{a}からいくつかの項を取り除
いてできる数列を, {an} の部分数列という。
(1) n≧2のとき
解答
また
an=S-S1=(2n²-n)-{2(n-1)-(n-1)}
=4n-3
......
①
α=Si=2.12-1=1
ここで,① において n=1 とすると
|よって, n=1のときにも ①は成り立つ。
したがって an=4n-3
=4・1-3=1
(1)より,2k-1=4(2k-1)-3=8k-7であるから
n
71
a+astas+…+azn-1=2a2k-1=2(8k-7)
k=1
k=1
=8.1/23n(n+1)-7n
=n(4n-3)
S=22-nであるから
S-1-2(n-1)-(n-1
初項は特別扱い
ann≧1で1つの式
表される。
a2-1 an=4n-31
いてnに2k-1 を代入
k, 1 の公式を利用
検討
n≧1でan=S,S,-」 となる場合
例題 (1) のように, an=S-S-1でn=1とした値とαが一致するのは, S” の式でn=0
したとき So=0 すなわちnの多項式 S” の定数項が0となる場合である。 もし、
Sn=2n²-n+1 (定数項が0でない)ならば, a1=Si=2, an=Sn-Sm-1=4n-3(n≧2)
り4n-3でn=1とした値とαが一致しない。このとき、最後の答えは
「α=2, n≧2のときα=4n-3」 と表す。
