線を引いたところはどこから導いたのですか？解説お願いします🙇🏻‍♀️

重要 例題28 AABC において, AB=4, AC=5, BC=6 とし, 外心をOとする。AOを同 外ル ACを用いて表せ。 (類早稲田大) 指針> 三角形の外心は, 各辺の垂直二等分線の交点であるから,右図の AABC の外心0に対して これをベクトルの条件に直すと よって, AO=sAB+tAC として AB·MO=0, AC·Nó=0 から. s, tの値を求める。 ABIMO, ACINO M ABIMO, ACINO B 解答 辺 AB, 辺 ACの中点をそれぞれ M, N とする。 ただし,△ABCは直角三角形ではないから, 2点 M, N はと 4最大辺は BCであり BC?キAB+AC もに点0とは一致しない。 自 A+0ー0 点0は△ABC の外心であるから ABIMO, ACINO AB-MO=0, AC·NO=0 A0=sAB+tAで (s, tは実数)とすると, AB·MO=0 から (*)直角三角形の外心0 (外接円の中心)は,辺の 点と一致する。 ゆえに AB-(AO-AM)=0 で AO よって AB- 3-|(s--)AB+tAC}=0 の また,AC-NO=0から AC-(AO-AN)=0 画四 ゆえに AC-AB+(1-1)-0 ここでBCP=|AC-ABf=|AC-2AB·AC+|ABP 6°-52-2AB-AC+4° コ ¥0g を YOXS AC-{sAB+ 2 点をEとすると =D30-00 J よって AB-AC=5 2 ゆえに よって, ①から(s-)×ギ+1x=-0 5 ) AB S- 2 2 すなわち 32s+5t=16 3 +tAB-AC=0 また, ② から s× 2 -+1-)×5=0 A ASAB·AC すなわち s+10t=5 JACF=0 3, ④ から 16 t= 7' 3 S= 35 A0=-AB+A したがって 3 16 -AC 35 7 5 5

線を引いたところがなぜそうなるのか解説お願いします🙇🏻‍♀️

指針> (1) 三角形の垂心とは, 三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線の交在で (2)(1)の点Hに対して, 3点0, G, H は一直線上にあり GH=20G 428 基本 例題30 線分の垂直に関する証明 [類山梨大) 基本23 本後 ある。 AH+6, BC+0, BH+6, CA+0のとき AH」BC, BHLTA → AH·BC=0, BH.CA=0 A であるから,内積を利用 して, A [(内積)=0] を計算により示す。 0は△ABCの外心であるから, lOA|=|OB|=|oC| も利用。 CHART 線分の垂直 (内積) =0 を利用 |解答 直角三角形のときは ZC=90° とする。 このとき、外心は辺 ABE にある(辺 ABの中点)。 A (1) ZAキ90°, ZBキ90° としてよい。 このとき,外心0は辺BC, CA上 にはない。 OH=OA+OB+OC から AH=OH-OA=OB+O¢ ゆえに AH·BC =(OB+OC)· (Oで-OB) =|oCP-IOBP=0 の B (BC=OC-OB (分) これら (AABC の外心0→ OA=0B=0C (数学A) 同様にして して BH-CA=(OA+oC)- (OA-OC) =|OAF-|OCP=0 AH=OB+OCキ0, BH=OA+OC30 (検討 また,①から よって,AH+0, BC+0, BH+0, CA+0 であるから AHIBC, BH」CA すなわち AHIBC, BHLCA したがって, 点Hは△ABCの垂心である。 外心,重心,垂心を通る直線 (この例題の直線0GH)を オイラー線 という。 ただし,正三角形は除く。 OG= OA+OB+0C =OH から OH=30G (1) から OA+OB+0C=OH 3 ゆえに GH=OH-OG=D20G よって, 3点0, G, Hは一直線上にあり GH=20G |右の図の AB 28 0から

この問題の青マーカーの部分でなぜこう立式できるのかが分かりません。それ以外は理解できました。

AABC において, AB=4, AC=5, BC=6とし, 外心を0とする。AGを 424 重要例題28 外心の位置ベクトル (類早稲田大) ACを用いて表せ。 指針>三角形の外心は, 各辺の垂直二等分線の交点であるから, 右図の AABCの外心Oに対して これをベクトルの条件に直すと よって, Aō=sAB+tAC として AB.MO=0, AC·NO=0から ABIMO, ACINO ABIMO, AC」N6 M B S, tの値を求める。 解答 辺 AB, 辺 ACの中点をそれぞれ M, N とする。 ただし,△ABCは直角三角形ではないから, 2点M, N はと 4最大辺は BCであり BC*キAB+AC もに点0とは一致しない。 点0は△ABCの外心であるから ABIMO, ACINO AB-MO=0, AC.NO30 AO=sAB+tAC (s, tは実数)とすると, AB·M0=0から (*)直角三角形の外 (外接円の中心)は、 点と一致する。 ゆえに AB-(AO-AM)=0 AB+tAC}=0 …… の また, AC-NO=0から AC-(AG-AN)=0 ゆえに AC-AB+(1-号)AC|=0 BCF=|AC-ABF=|ACf-2AB·AC+|ABP 6°=5°-2AB-AC+4° ここで よって AB-AC=; 5 ゆえに 2 よって, ① から (s-号)×#++x3-0 S S すなわち 32s+5t=16 3 +tAB-AC=0 また。 ②から a×号+(-号)×ダ-0 SX SAB-AC すなわち s+10t=5 3, ④ から 3 16 t= 7' S= 35 したがって 16 -AB+ 17 3 A0= AC 35 関1のよう

全統共通テスト模試の数ⅠAの質問です。 図形の問題で、直角三角形だから外心は斜辺の中点になっている と言うのがあるのですが、これはなぜでしょうか？ なんとなくわかるような気はするのですがしっくりきていないので教えて頂きたいです。

第5問 図形の性質 【解説】 00 \ B -12 2) G C 『A D △ABC は ZBAC=90° の直角二角形であるから,△ABC の外 心0は辺BC の中点であり, △ABC の外接円の半径は6である 3

4STEP数I+A75ページの305の解説で三角錐P-ABCの図があってPHが示されているのですが、点Hは三角形ABCに接しているのですか？ 最後体積を求めるのにV=1/3S・PH（S=三角形ABCの面積）となっていてPHは三角錐P-ABCの高さであるから三角形ABCに接... 続きを読む

306 (1) 正四面体 ABCD の頂点Aから底面 74 4STEP数学I 305 △ABC において余 弦定理を適用すると 22+4°-32 A 解答編 *2.2=2 75 3 V3 V3 303 (1) △OBC=- 3 BH=- 2sin 60° 5°+6°-7?_1 COSC= V5 P COSA: よって って V=ニA0BC-0A=-2-2- 2.2.4 2-5-6 5 AH=VAB°-BH° =DV3°- (V3)2 = V6 よ。 sin C>0 であるから (2) △OABにおいて, 0A=OB=2, ZAOB=90°であるから AB=2V2 11 V5 2 ゆえに sinC=,- - 16 また,△BCD の面積Sは 9/3 =3:3sin60° : _ 2,6 5 sin A>0 であるから B 同様に BC=CA=2/2 3 s- S=-5-6.2/6 5 よって 11 \2 1 よって, △ABCは1辺の長さが2/2 の正三角 形であるから sin A = =6、/6 16 よって,正四面体 ABCD の体積は 9、2 315 ゆえに, 9r=6、6 から 2/6 ア=ー S=-22-2/2sin 60"=2、/3 1、9V3 4 -xV6. 4 16 3 よって, △ABCの面積を Sとすると よって S,=4r(2=等 32 ここで,四面体 ABCD は,4つの四面体 OABC, OACD, OABD, OBCD に分割でき,これらはす べて合同である。 よって,正四面体 ABCD の体積は 4Vに 等しいから (3) V=-AABC·OHであるから T08 3 S=-AB·AC sin A (2、6 64、/6 33 4 1 Vニ 三 .2/30H 3 27 3V15 -2:416 ストリ 3-3 315 ヘロンの公式を用いると, Sは以下のように 求められる。 参考 ニ よって 0f- 1 2,3 4 頂点Pから底面 ABCに垂線PH を下ろすと、 APAH, APBH, △PCHはいずれも直角三角 OH: 数料 三 2,3 3 D 5+6+7 =9 とすると 2 B S=- 304 PH=acos0, 形で S=\s(s-5Xs-6(s-7) 3DV9.4·3-2%36、/6 (2) 三角柱の表面積を S2, 体積を V。とする。 S2=2S+5-2r+6-2r+7-2r AH=BH=asin0 PA=PB=PC, PH は共通 であるから,これらの直角三角形は合同である。 9、2 4V= 4 よって, 求める体積Vは よって Fu V=-x(正方形 ABCD) x PH AH=BH=CH 9/2 V=- 16 ゆえに,点Hは△ABCの外接円の中心であり, AH はその半径である。 △ABCに正弦定理を適用すると したがって =2-6/6 +(5+6+7)- 46 3 ;×(4△ABH)× PH 2 V=-XABCD×rより = 36/6 3 -=2AH V;=S-2r=6/6.4vy6 3 ·AH·BH PH 9V2 =48 1、9V3 -XY 4 sin A 1 .2(asin 0)?acos@ 16 3.3/15 16 AAPH は直角三角形であるから, 三平方の延理 8 ベル 3 AH= 32 (3) S,: Szi π: 36/6 = 8x : 27/6 3 よって ニ V6 ア= 三 2sin A 2 よって 文シ -co 64、/6 ーπ : 48=8x: 27、/6 27 4 =a'sin'0 cose 別解 PH=acos0, AH=asin@ AABH はZAHB=90° の直角二等辺三角形であ るから AB=\2AH=\2asin@ よって, 求める体積Vは したがって, 求める球の表面積は (4) V,: V2%= により S:S;=Vi:Va Jw-() セx)- これと(3)の結果から よって, 球と三角柱の体積比は球と三角柱の表 面積の比に等しい。 V6 12 3 -π 2 8 2 4元× 4 (V5)?- V15 ゆえに, 求める体積Vは PH= V 15 三 球の体積は 4 -TX V6 13 Tπ 13V15 V11 _ V11 4 8 BH=PH=50 V=;x(正方形 ABCD) × PH V=-S-PH= 3 308 APBH において APAHにおいて, PH: AH=1:V3 であるか AH=V3 PH=50/3 4 V15 307 球の中心を0 とする。 0を通り,底面に平行な平面 で三角柱を切ると 3 4 1 三ラ×AB°× PH ら △ABHにおいて, 余弦定理により 50.50,3 cos 30° pII その切り の 0 数学I 3 1-3 II 3 II X.

高校1年生、数学Aの接弦定理の証明問題です。 マーカーを引いている部分で、なぜMが直角三角形DAEの外心になるのかどうしてもわかりません💦 もし分かる方がいれば教えていただきたいです🙇‍♂️

練習 AABC の頂角 A およびその外角の二等分線が直線 BC と交わる点をそれぞれ D, Eとし, 線分 線白 の中点をMとする。このとき,直線 MA は△ABCの外接円に接することを証明せよ。 87 ADは ZAの二等分線であり, AEはZAの外角の二等分線で そ2ZDAC+2ZCAE =180° から ZDAE =ZDAC+ZCAE=90° あるから B DC" M E ZDAE=90° よって,直角三角形 DAE において -Mは直角三角形 DAE MA=MD=ME の外心。 ゆえに,AMADは二等辺三角形であるか 、 ① は ZDAM=ZADM また ZDAM=ZDAC+LCAM の VDB-SVCB (ag SECB そAD は ZAの二等分線。 る ム 1 ZBAC+ZCAM 2 PB2 CADM=ZBAD+ZB の 1 3 の ZBAC+ZB PC. ZCAM=ZB ゆえに,直線 MA は △ABC の外接円に接する。 30 0~3から そ接弦定理の逆

HA＝HB＝HCが成り立つとHは外心になりますか？

B I

⑵のyが分からなかったので解説を見ると、点Fは BCの中点となっていたのですが、その理由は何故ですか？

6. 下の図で,0は△ABCの外心, Gは△ABCの重心である。 x, yの大きさを求めよ。 A A DE/BC 42° 12 0 D G 30% E -y x x B C B^-9F C

高校受験　の問題です。 「右の展開図はOA=OB=OC=AB=BC=2,AC=2√2である。 　この展開図を組み立てて出来る立体の体積を求めよ」 解き方が全く分かりません 答えは2/3√2になります よろしくお願いします🙇‍♀️

A B C

テストの時に、だいたいこうなってるでしょ〜ということで120°と書き丸になったのですが、 外心だからってなぜ∠ABOが40°、∠CAOが20°などと分かるのですか？？

の(点Oは△ABCの外心) (5 A 40° 20° 00 B C