の木例題 22/ 曲線 F(x, y)=0 と面積
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線 2x°+2xy+y*=1 によって囲まれた部分の面積Sを求めよ。
OOOOD
重要161, 基本224
SOLUTION
CHART
曲線 F(x, y)=0 と面積
y=(x の式)と変形したグラフを考える
与えられた曲線の方程式を y=f(x) の形に変形し, 定義域や増減を調べてグラ
フをかく。対称性も利用する。
x軸対称:f(x, -y)= f(x, y)
原点対称:f(-x, -y)=f(x, y)
「注意
y軸対称:f(-x, y)=f(x, y)
解答
2x°+2xy+y°=1 から
yについて解くと
y+2xy+2x°-1=0
y=ーx±/x°-(2.x-1)
=ーx±/1-x
f(x)=-x+/1-x, g(x)=-x-<1-x とする。
1-x°20 であるから, f(x) と g(x)の定義域は
1-x+x
1-x
yについて整理し, 解の
公式を用いて解く。
-1Sx<1
-2x
f(x)=-1+2/1-x
(/1-x')%={(1-x)
f(x)=0 とすると
VI-x=-x
の
1-x=x?
これを解いて
1
x=±
V2
両辺を2乗して
1
1
1
のを満たすものは
ー=X
V2
x
V2
f(x)
0
f(x)の増減表は右のようになる。
極大
2
また
f(x)
1
-1
=x-V1-x°=f(x)
よって, y=f(x) のグラフと y=g(x) のグラフは原点に関し
て対称であるから, 曲線の概形は, 図のようになる。
定義域内では,f(x)2g(x) であるから, 求める面積Sは
ソ=f(x)
/2
0
S=r(x)-g(x)}dx=2|1-xdx
- dx は, 半径1の円の面積の号を表すから
S=2·r·1*。
-1
81
y=g()
=元
K
