線
1 接線の方程式 195
Think
例題
87 直交する2曲線
Q2つの曲線 y=√xy=eが直交するようにaの値を定めよ。
考え方 右の図のように、 2つの曲線 y=f(x).
y=g(x) が共有点をもち、 その点におけるそれ
ぞれの接線が互いに垂直に交わるとき,
2つの曲線は直交する という.
*****
y=f(x)
y=g(x)
f(t)=g(t))
共有点のx座標をtとおいて,次のことに着目する。
点を共有している 接線どうしが直交する
O
(f'(t)g^(t)=-1)
解答
2つの曲線 y=√x
......
x 座標を とおく。
①, y=ex ② の共有点の
f(x)=√xとすると、f'(x)=1より、①の共有点
2√x
1
における接線の傾きは,
f'(t)=-
g(x)=ex とすると, g'(x) = ae** より ②の共有点に
おける接線の傾きは, g'(t)=aeat
①と②の曲線が直交するのは、共有点における接線が直
交するときであるから,
f'(t)g'(t)=-1
ae=-1 ......③
より、
1
2√√t
また, ①②より
√t=e
④
1
これを③に代入して,
·a√t=-1
2√t
a=-1 より a=-2
y=vx
2直線が垂直に交わ
あるとき 2直線の傾
きをmm' とすると,
mm=-1
共有点の座標は,①
より(t,t).
②より, (t, eat) でこ
れが一致する.
逆に α-2 のとき ④を満た
す共有点(t√t) が存在し,③も
満たす
よってa=-2
Focus
y=e-2x
Ot
2つの曲線 y=f(x), y=g(x)が直交する
←2つの曲線の共有点におけるそれぞれの接線が互いに直交する
共有点のx座標をt とすると,f(t)=g(t).f'(t)g'(t)=-1