Question

とりっぴー

この解答の最後の赤で囲った記述はなぜ必要なのですか？
回答よろしくお願いします！

線
1 接線の方程式 195
Think
例題
87 直交する2曲線
Q2つの曲線 y=√xy=eが直交するようにaの値を定めよ。
考え方 右の図のように、 2つの曲線 y=f(x).
y=g(x) が共有点をもち、 その点におけるそれ
ぞれの接線が互いに垂直に交わるとき,
2つの曲線は直交する という.
*****
y=f(x)
y=g(x)
f(t)=g(t))
共有点のx座標をtとおいて,次のことに着目する。
点を共有している 接線どうしが直交する
O
(f'(t)g^(t)=-1)
解答
2つの曲線 y=√x
......
x 座標を とおく。
①, y=ex ② の共有点の
f(x)=√xとすると、f'(x)=1より、①の共有点
2√x
1
における接線の傾きは,
f'(t)=-
g(x)=ex とすると, g'(x) = ae** より ②の共有点に
おける接線の傾きは, g'(t)=aeat
①と②の曲線が直交するのは、共有点における接線が直
交するときであるから,
f'(t)g'(t)=-1
ae=-1 ......③
より、
1
2√√t
また, ①②より
√t=e
④
1
これを③に代入して,
·a√t=-1
2√t
a=-1 より a=-2
y=vx
2直線が垂直に交わ
あるとき 2直線の傾
きをmm' とすると,
mm=-1
共有点の座標は,①
より(t,t).
②より, (t, eat) でこ
れが一致する.
逆に α-2 のとき ④を満た
す共有点(t√t) が存在し,③も
満たす
よってa=-2
Focus
y=e-2x
Ot
2つの曲線 y=f(x), y=g(x)が直交する
←2つの曲線の共有点におけるそれぞれの接線が互いに直交する
共有点のx座標をt とすると,f(t)=g(t).f'(t)g'(t)=-1

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きぃ

必要十分条件がかぎとなります。
まず、上での議論は必要条件となります。そのため、本当に戻れるのかはわかりません。どこかで同値性が崩れているかもしれません。

逆が成り立たないものを挙げますと、
点A(1,0),点B(−1,0)がある時の∠APB=90°となる点Pの軌跡とかです。
これは逆が成り立ちません。
やってみると良いでしょう。軌跡に含まれない点が出てきます。

もっと簡単な逆が成り立たないものを挙げますと、
x=2→x^2=4とか
x>y→ax>ay(aは実数)とか
こんな感じです

必要十分条件、分かりました?

ということで、十分条件も確かめなければなりません。
今回は、逆に、a=-2のとき、二つの関数は直交するのか。ということを考えていきます。
難しいものであればこの証明を答案のようにしっかりと書かなければいけないのですが、今回はあっさりしているので、解説のようにぼんやりと「逆も成立する」程度にしか書きません。

必要十分条件の確認は毎回必要です。
日々意識して、数学の問題を解きましょう。
質問があればどうぞ。

とりっぴー

ありがとうございます！
分かりやすかったです！