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第6章 積分法
基礎問
106 面積(Ⅲ)
2つの曲線 y=x(x-1) ①, y=kx2
について、 次の問いに答えよ.
(k>0)2
(1)この2つの曲線は異なる3点で交わることを示せ.
(は)この2つの曲線で囲まれる2つの部分の面積が等しくなるようなん
精講
の値を求めよ.
(1)「異なる3点で交わる」
「①,②からyを消去した式が異なる3つの実数解をもつ」
実数解の個数だけであれば, IIB ベク 95
の手順でよいので
しょうが,(2)で面積がテーマになっているので,出せるものなら,直接,解
を出しておいた方がよいでしょう.
(2)問題文の通りに式をつくればよいのでしょうが,ポイントの考え方を最初
から使えるようになれば,少しですが,負担が軽くなります.
解答では,ポイントの考え方がでてくる過程がわかるようにかいてあります。
解答
(1) ①,②を連立して,yを消去すると,
x(x-1)2=kx2
x{(x-1)2-kx}=0
Terex{x²-(k+2)x+1}=0
ここで,2-(k+2)x+1=0
......
③
の判別式をDとすると
D=(k+2)-4=k2 +4k0 (k0 より)
よって,③は異なる2つの実数解α,β (α <B) をもつ.
次に, x=0 は ③をみたさないので x=0 は③の解ではない.
したがって, α≠0,β ¥0
よって,①,②は異なる3点で交わる.
(2)解と係数の関係より
a+β=k+2>0,aβ1>0 だから
19
よ
