青チャの例題です。 答えを求めることはできても仕組みがよくわかってない気がします。。 深く理解している方がいたら教えてください🙏 黄色の部分の式はどういう式なんでしょう。。 これは何を表していますか？ 【C上の点における接線】【指定された点を通る】という二つの条件を満た... 続きを読む

342 00000 演習 例題2243本の接線が引けるための条件 (2) f(x)=x-xとし, 関数 y=f(x) のグラフを曲線C とする。点(u, b) を通る 線Cの接線が3本存在するためのu, vの満たすべき条件を求めよ。 また、 条件を満たす点(u, v) の存在範囲を図示せよ。 指針 前ページの演習例題223と考え方は同様である。 ① 曲線C上の点 (t, f(t)) における接線の方程式を求める。 解答 f'(x)=3x2-1 であるから, 曲線C上の点の座標を(t, f(t)) とすると、接線の方程式は y−(t³-t)=(3t²—1)(x−t) すなわち y=(3t2-1)x-2t3 この接線が点 (u, v) を通るとすると よって 2t3-3ut'+u+v=0 よって ②1 で求めた接線が, 点 (u, v) を通ることから,t の3次方程式を導く。 ③3 ② の3次方程式が異なる3個の実数解をもつ条件を,u, ひの式で表す。 ****** -u³+u+v<0 √2+v < 0 -u³+u+v>0 g(0)g(u) < 0 から (u+v)(-u³+u+v) <0 ②でu=0 とすると v<0 となり,これを満たす実数は存在 しない。 ゆえに,条件 u≠0は②に含まれるから, 求める条件 は ② である。 [u+v>0 ②から ひ または =(3t2-1) u-2t3 3次関数のグラフでは、 接点が異なれば接線も異なる。 ゆえに,点 (u, v) を通るCの接線が3本存在するための条件 は,t の3次方程式 ① が異なる3個の実数解をもつことである。 よって, g(t)=2t3-3ut'+u+vとすると, g(t) は極値をもち, p.337 の例題 219 参照。 極大値と極小値が異符号となる。 g'(t)=6t2-6ut=6t(t-u) であるから u=0 かつg(0)g(x)<0 [v>-u ひ<-u または \v<u³_u [v>u³_u したがって, 点 (u, v) の存在範囲は 右の図の斜線部分。 境界線を含まない。 √3 3 VA O 2√3 9 基本 219, 演習 223 2√3 9 3 ◄y-f(t)= f'(t)(x-t) 前ページの検討 参照。 g'(t)=0 とすると t=0, u u=0のとき, t=0,uの うち一方で極大 他方で 小となる。 |v=uuのとき v=3u²-1 v=0 とすると √3 3 u=± u=± √√3 のとき 3 v=F (複号同順 2√3 9 直線-uは曲線 原点Oにおける接続

＊問題の答えも付いてます 微分について なぜ=0か、≠0で場合分けをするのか？ この問題のように、=0か、≠0で場合分けをするのはどういう時なのか？があれば教えてください

*208 3次関数f(x)=x-ax2が0<x<1で極値をもたないための実数a [03 法政大] に関する条件を求めよ。

70番です！思考のひもときのところでなぜ最小値を求めるのですか？最小値を求めるとなぜa,bの大小関係が分かるのですか？教えて下さい🙇‍♂️

70 a,b は正の数とする すべてのx>0 に対して つときa,bの関係を求めよ. 思考のひもとき 1. x>0 に対して, f(x) の最小値がmのとき x>0 に対して f(x) ≧0 m≧0 2x2+(3-a)x-2a x³ a>0より 2x² (3-a)x 2a (①の左辺)= + xxx f'(t)=0 とすると -≤b 1 =t とすると (x>0よりt> 0) ②は x ->0 a (2) ME ikkil 2x2+(3-a)x-2a .3. ..... t= =2 (1)+(3-4 (1)-20 (1) ② ² -2al x x AX² 23co (8-)1 36₂ 「すべてのx>0 に対して①が成り立つ｣ Crpin ⇔ 「すべてのt> 0に対して2t+ (3-a)t2-2at ≦b が成り立つ」 ⇔ 「すべてのt> 0に対して2at-(3-a)t-2t+b≧0 が成り立つ｣ f(t)=2at-(3-a)t2-2t+bとするとf(t) をtで微分して f'(t)=6at²-2(3-a)t-2-2{3at²-(3-a)t-1)=2(3t+1)(at-1) 1 1 3' a 2t+(3a)t2-2at3 ...... ②' -≦b が成り立 (信州大)

この問題の場合分けのtって全部に=付けてもいいですか？？

例題224 関数の最大・最小両端に文字を含む 関数f(x)=x-6x+9x-1 の区間 t sxst +1 における最大値 M(2) isasi+1k# を求めよ｡ Action 関数の最大・最小は、極値と端点での値を調べよ 場合に分ける。 文字が含まれている。 すのが大きくなるほど､ 区間の全体が右側へ動いていくことから, 場合分けの境界を考える。 ( 極大となる点を) 区間に含む (極大となる点を) 区間に含まない / ...1.... f(x)=3x-12x+9=3 (x-1)(x-3) f'(x) = 0 とおくと x = 1,3 よって, f(x) の増減表は次のように S' (x + 0 …..M(z)=(極大値) t= 3 0 -1 整理すると 3²-9t+4=0 ゆえに,y=f(x)のグラフは右の図。 ここで, f(t)=f(t+1) となるもの値は e-6/°+9t-1=(1+1)-6(t+1)^2 +9(t+1)-1 P-68°+9t-1 = 836 +3 t= 区間の両端での の大小を考える/ 9±√33 6 グラフより, M(t) = f(t) = f(t+1) 9+√33 = -3/²+3 となるfの値は (ア) +1 < 1 すなわち <0のとき A(t)=f(t+1) It Itel 1+1 219 NAL ★★ 1141 境界となる 両端の値が等しいときを考える f(t)=f(t+1) 9-4 のときは､ 最小値がf(r)=f(x+1) となるときである。 (イ) <1st+1 すなわち0<E このとき M(r)=f(1)=3 (2) 151 < 9+√33 M(L)=f(t) (x) 13 6 9+√33 (ア)~(エ)より のとき M() f(t+1) M(t)=3 224 のとき =-6² +91-1 =-3² +3 a= としてよい -3² +3 ³-61² +91-1 [ツキ OF T (t<0, (0 ≦t < 1 のとき) -1 (ISK 9+√33 st< 6 t+(t+1) 9+√33 1+1 1+1 のとき のとき Pointf(t)=f (t+1) となる点 例題224 では、関数f(x) に対して f(t)+1になるを求め K15x51+LE x1 が含まれるとき､ た。 f(x) が3次関数の場合、x=4で極値をとっても、 曲線 y=f(x) は直線 に関して対称ではないことに注意する。 [誤答例] f(t)=f(t+1) となるのは, x3 区間 tsxst+1の 中央にあるときであり ++ (+1) 2 める必要がないから、 = 3 すなわち t = 1 一方、f(x) が2次関数の場合, y=f(x) は放物線であり､軸がx=d である放物線は、その軸に関して対称である。 よって, f(t)=f(t+1) となるのは, の中央にあるときであり 1 1 すなわち をとるのを求 けずに考える。 の場合を分 +1のときに最大 をとる とめる。 )の場合をま y=f(x) 非対称 VIV VIV. St+1 における最大値を求めよ。

この問題の場合分けのtって全部に=付けてもいいですか？？

例題224 関数の最大・最小両端に文字を含む 関数f(x)=x-6x+9x-1 の区間 t sxst +1 における最大値 M(2) isasi+1k# を求めよ｡ Action 関数の最大・最小は、極値と端点での値を調べよ 場合に分ける。 文字が含まれている。 すのが大きくなるほど､ 区間の全体が右側へ動いていくことから, 場合分けの境界を考える。 ( 極大となる点を) 区間に含む (極大となる点を) 区間に含まない / ...1.... f(x)=3x-12x+9=3 (x-1)(x-3) f'(x) = 0 とおくと x = 1,3 よって, f(x) の増減表は次のように J'(x) + 0 …..M(z)=(極大値) t= 3 0 -1 整理すると 3²-9t+4=0 ゆえに,y=f(x)のグラフは右の図。 ここで, f(t)=f(t+1) となるもの値は e-6/°+9t-1=(1+1)-6(t+1)^2 +9(t+1)-1 P-68°+9t-1 = 836 +3 t= 区間の両端での の大小を考える/ 9±√33 6 グラフより, M(t) = f(t) = f(t+1) 9+√33 = -3/²+3 となるfの値は (ア) +1 < 1 すなわち <0のとき A(t)=f(t+1) It Itel 1+1 219 NAL ★★ 1141 境界となる 両端の値が等しいときを考える f(t)=f(t+1) 9-4 のときは､ 最小値がf(r)=f(x+1) となるときである。 (イ) <1st+1 すなわち0<E このとき M(r)=f(1)=3 (2) 151 < 9+√33 M(L)=f(t) (x) 13 6 9+√33 (ア)~(エ)より のとき M() f(t+1) M(t)=3 224 のとき =-6² +91-1 a= としてよい =-3² +3 -3² +3 ³-61² +91-1 [ツキ OF t+(t+1) T (t<0, (0 ≦t < 1 のとき) -1 (ISK 9+√33 st< 6 9+√33 1+1 1+1 のとき のとき K15x51+LE x1 が含まれるとき､ Pointf(t)=f (t+1) となる点 例題224 では、関数 f(x) に対して f(t)+1になるを求め た。 f(x) が3次関数の場合、x=4で極値をとっても、 曲線 y=f(x) は直線 に関して対称ではないことに注意する。 [誤答例] f(t)=f(t+1) となるのは, x3 区間 tsxst+1の 中央にあるときであり ++ (+1) 2 = 3 すなわち t = 1 一方、f(x) が2次関数の場合, y=f(x) は放物線であり､軸がx=d である放物線は、その軸に関して対称である。 よって, f(t)=f(t+1) となるのは, の中央にあるときであり 1 1 すなわち める必要がないから、 をとるのを求 けずに考える。 の場合を分 +1のときに最大 をとる とめる。 )の場合をま y=f(x) 非対称 VIV VIV. St+1 における最大値を求めよ。

この問題の場合分けのtって全部に=付けてもいいですか？？

例題224 関数の最大・最小両端に文字を含む 関数f(x)=x-6x+9x-1 の区間 t sxst +1 における最大値 M(2) 1sx51+1 k# を求めよ｡ Action 関数の最大・最小は、極値と端点での値を調べよ 場合に分ける。 文字が含まれている。 すのが大きくなるほど､ 区間の全体が右側へ動いていくことから, 場合分けの境界を考える。 ( 極大となる点を) 区間に含む (極大となる点を) 区間に含まない / ...1.... f(x)=3x-12x+9=3 (x-1)(x-3) f'(x) = 0 とおくと x = 1,3 よって, f(x) の増減表は次のように S' (x + 0 …..M(z)=(極大値) t= 3 0 -1 整理すると 3²-9t+4=0 ゆえに,y=f(x)のグラフは右の図。 ここで, f(t)=f(t+1) となるもの値は e-6/°+9t-1=(1+1)-6(t+1)^2 +9(t+1)-1 P-68°+9t-1 = 836 +3 t= 区間の両端での の大小を考える/ 9±√33 6 グラフより, M(t) = f(t) = f(t+1) 9+√33 = -3/²+3 となるfの値は (ア) +1 < 1 すなわち <0のとき A(t)=f(t+1) It Itel 1+1 219 NAL ★★ 1141 境界となる 両端の値が等しいときを考える f(t)=f(t+1) 9-4 のときは､ 最小値がf(r)=f(x+1) となるときである。 (イ) <1st+1 すなわち0<E このとき M(r)=f(1)=3 (2) 151 < 9+√33 M(L)=f(t) (x) 13 6 9+√33 (ア)~(エ)より のとき M() f(t+1) M(t)=3 224 のとき =-6² +91-1 a= としてよい =-3² +3 -3² +3 ³-61² +91-1 [ツキ OF t+(t+1) T (t<0, (0 ≦t < 1 のとき) -1 (ISK 9+√33 st< 6 9+√33 1+1 1+1 のとき のとき K15x51+LE x1 が含まれるとき､ Pointf(t)=f (t+1) となる点 例題224 では、関数 f(x) に対して f(t)+1になるを求め た。 f(x) が3次関数の場合、x=4で極値をとっても、 曲線 y=f(x) は直線 に関して対称ではないことに注意する。 [誤答例] f(t)=f(t+1) となるのは, x3 区間 tsxst+1の 中央にあるときであり ++ (+1) 2 = 3 すなわち t = 1 一方、f(x) が2次関数の場合, y=f(x) は放物線であり､軸がx=d である放物線は、その軸に関して対称である。 よって, f(t)=f(t+1) となるのは, の中央にあるときであり 1 すなわち 1 める必要がないから、 をとるのを求 けずに考える。 の場合を分 +1のときに最大 をとる とめる。 )の場合をま y=f(x) 非対称 VIV VIV. St+1における最大値を求めよ。

数II微積　最大最小 場合分けが2を基準にしているのは範囲が0<a<3だからということはわかったのですがそこを基準にしても二次関数みたいにうまくいかない気がするのですが、、

3次関数の決定 00000 0<a<3 とする。 関数f(x)=2x-3ax²+b(0≦x≦3) の最大値が10, 最小値が -18のとき,定数a, b の値を求めよ。 指針 ① 区間における増減表をかいて, f(x) の値の変化を調べる。 ②1 の増減表から最小値はわかるが, 最大値は候補が2つ出てくる。よって, その最大 値の候補の大小を比較し,αの値で場合分けをして最大値をa, b で表す。 解答 f'(x)=6x2-6ax=6x(x-a) f(x)=0 とすると x=0, a 0<a<3であるから, 0≦x≦3におけるf(x) の増減表は次の ようになる。 0 x f'(x) f(x) 6\ 76-27a+54 よって, 最小値はf(a)=b-a3 でありb-=-18 また, 最大値は f(0) = b またはf(3)=b-27a+54 f(0) と f(3) を比較すると ゆえに a 0 極小 b-a³ f(3) f(0)=-27a+54=-27(a−2) 0<a<2のとき f(0)<f(3), 2≦a<3のとき(3)(0) [1] 0<a<2のとき,最大値は + f(3)=b-27a+54 6-27a+54=10 すなわち b=27a-44 a³-27a+26=0 って これを ① に代入して整理すると ゆえに (a−1)(a²+a−26)=0 -1±√105 2 よって a=1, 0<a<2を満たすものは このとき、①から [2] 2≦a<3のとき, 最大値は よって b=10 これを①に代入して整理すると a=1 b=-17 f(0)=b ...... a³=28 2833であるから, a=28>3となり、不適。 [1],[2] から a=1,b=-17 11 (最小値)=-18 ① 最大 最小 極値と端の値をチェック 大小比較は差を作る ( 最大値) = 10 10-27 基本211 1 1-26 11-26 0 26 1 < (最大値) = 10 ◆場合分けの条件を満たすか どうかを確認。 場合分けの条件を満たすか どうかを確認。 hh (-25x≤1) OK 大 335 6章 3 最大値・最小値、方程式・不等式 37

黄色の線を引いたところが、なぜこうなるのか分かりません。教えてください！

→ 206 例題 209 3次関数が極値をも条件 (1) 関数f(x)=x+ax+4x-3が極値をもつとき,定数aの値の範囲を 求めよ。 (2) 関数f(x)=ax²+(a−2)x がつねに増加するとき,定数aの値の範囲 を求めよ。 Action 3次関数の極値に関する条件は, f'(x)=0 の判別式の正負を考えよ 解法の手順･･・ ・1f'(x) に関する条件を求める。 2f'(x) = 0 の判別式 D の正負を定める。 3Dをαで表し、不等式を解く。 解答 (1) f'(x) = 3x2+2ax+4 f'(x) は2次関数であるから, 関数 f(x) が極値をもつと き 2次方程式 f'(x) = 0 は異なる2つの実数解をもつ。 f'(x) = 0 の判別式をDとすると D 4 よって、求めるαの値の範囲は a<-2√32/3 <a = a² - 12 > 0 (2) f'(x) = 3ax²+(a−2) 関数 f(x) がつねに増加するとき, すべての実数xに対し てf'(x) ≧ 0 が成り立つ。 (ア) α = 0 のとき f'(x) = -2 となるから, 適さない。 (イ) α = 0 のとき f'(x) = 0 の判別式をDとすると ①より a> 0 かつ D=-12a(a−2)≦0….. ① a(a-2) ≥ 0 a>0 であるから a≧2 (ア), (イ) より 求めるαの値の範囲は a≧2 y=f'(x) Jy 極大 a B x (+ y=f(x) 極小 最高次の係数が0になる かどうかで場合分けする。 f'(x)のグラフを考える と A D<0 または D=0 x

ⅱの問題なのですがどうしたら①と②の接点の座標の(4.8)がわかりますか？

4 - 次の各問いに答えなさい。 9年度 9月 (1) 3次関数y=x+6x2 +9æ +10について せの 極大値は アイ 極小値はウ である。 (2) 放物線y=-x2+7x-4 ・・・・･・①について ] (i) 傾きが-1で, 放物線 ① に接する接線の方程式は y=-x+[エオ] (2) である。 (ii) 放物線①と接線②と軸で囲まれた部分の面積は 「カキ [ク] である。 OLXQm50 0811)

求める条件のx=0を解にもつというのは、なぜ求める条件に入っているのですか？

326 重要 例題 210 4 次関数が極大値をもたない条件 関数f(x)=x^- 8x3+ 18kx" が極大値をもたないとき, 定数の値の範囲を求め [福島大] よ。 指針 4 次関数f(x)がx=pで極大値をもつ x=カの前後で3次関数f'(x) の符号が正から負に変わる であるから、 f'(x) の符号が「正から負に変わらない」 条件を考 える。 3次関数f'(x)のグラフとx軸の上下関係をイメージす るとよい。なお,解答の右横の図はy=x (x2-6x+9k) のグラフである。 解答 f'(x)=4x²-24x2+36kx=4x(x2-6x+9k) f(x) が極大値をもたないための条件は、 f'(x)=0 の実数解の 前後でf'(x) の符号が正から負に変わらないことである。 このことは,f'(x)のxの係数は正であるから, 3次方程式 f'(x) = 0 が異なる3つの実数解をもたないことと同じである。 f'(x)=0 とすると よって, 求める条件は, x2-6x+9k=0 [1] 重解または虚数解をもつ [1] x2-6x+9k=0 の判別式をDとすると D tala または x2-6x+9k=0 x=0 =(-3)²-9k=9(1-k) であるから 1-k≦0 極 (土) [2]x=0を解にもつ D よって k≧1 [2] x2-6x+9k=0にx=0を代入すると したがって PES k=0,k≧1 (日) a B Y ① 異なる3実数解 ② 重解ともう1つの実数解 (a <B<y とする) a=β<y, a<β=y a=By ww 極 極 a B=y x p f'(x) + 0 極大 f(x) k≥1 k=0 10)8-89-18 A=8+b k=0=8-³(80) (8 α ③ 1つの実数解と YA k> O (+1 ) =(ニュー(デ [参考] [4次関数の極値とグラフ] 一般に, 4 次関数f(x) [4次の係数は正] に対し,f'(x)=0 は3次方程式で,少なくとも1つの実数解をもつ。 その実数解をαとし、 他の2つの解が実 数であれば β, y とする。 この解は次の4つの場合がある ( 4 次の係数が負のときは,図の上下が A= (0-1)A 20087 18-0 逆になり, 極大と極小が入れ替わる)。 α 基本 203207 0 異なる2つの虚数解 W |極 極 小 3 YASET |k=1 x /6x 極 小 練習 f(x)=x^+4x3+ax² について,次の条件を満たす定数aの値の範囲を求めよ。 4 210 (1) ただ1つの極値をもつ。 (2) 極大値と極小値をもつ。 Cp.327 EX137 Ⓡ13 ② 13 ③1 E