基本 例題 98
2次方程式の解の存在範囲 (3)
00000
2次方程式 x2-2(a-1)x+(a-2)²=0 の異なる2つの実数解をα, β とす
るとき, 0<<1<β<2 を満たすように, 定数 αの値の範囲を定めよ。
CHART & SOLUTION
[類 立教大〕 基本 96,97
2次方程式の解が2数 gの間グラフをイメージ
f(pf(g)の符号に着目
f(x)=x2-2(a-1)x+(a-2)2 とすると, y=f(x)のグラフは
下に凸の放物線で, 右の図のようになる。
解の存在範囲が 0<α <1, 1 <B<2 となるようにするには,f(0)
f(1) f(2) の符号に着目する。 右の図から
f(0) > 0 かつ f (1) <0 かつ f(2)>0
を満たすようなαの値の範囲を求めればよい。
解答
f(x)=x2-2(a-1)x+(α-2)^ とする。
y=f(x) のグラフは下に凸の放物線であるから,
0<α<1 <β<2 となるための条件は
f(l)>0 かつ f(1) <0 かつ∫(2) > 0
である。
ここで
f(0)=(a-2)2
であるから
①から
②から
③ から
f(1)=1-2(a-1)+(a-2)²=α-6a+7
f(2)=4-4(a-1)+(a-2)^2=α²-8a+12
=(a-2)(a-6)
((a-2)²>0
a2-6a+7<0
\(a-2)(a-6)>0
2以外のすべての実数
3-√2 <a<3+√2
a<2, 6<a
8, ⑤ ⑥の共通範囲を求めて
3-√2 <a<2
①
.... 2
(3)
-6-
⑤
-6-
3-√2 2 3+√26
a
161
3章
+
11
a
B2x
グラフをイメージする。
3つの条件がすべて必要。
例えば,f(0)>0でなく,
f(0) <0 とすると
y=f(x) のグラフは,
次の図のようになり、
適さない。
0
2
X
α-6a+7=0の解は
a=3±√2
2次不等式
PRACTICE 98
2次方程式 2
いく
