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重要 例題
172 正四面体と球
000
1辺の長さがαである正四面体 ABCD がある。
(1) 正四面体 ABCD に外接する球の半径R をα を用いて表せ。
(2)(1)の半径Rの球と正四面体 ABCDの体積比を求めよ。
(3) 正四面体 ABCD に内接する球の半径r を a を用いて表せ。
(4)(3)の半径の球と正四面体 ABCDの体積比を求めよ。
指針 (1) 頂点Aから底面 ABCD に垂線 AH を下ろす。
外接する球の中心を0とすると,
OA=OB=OC=OD (=R) である。
解答
また, 直線AH 上の点Pに対して,
PB=PC=PD であるから, 0は直線AH 上にある。
よって、 直角三角形OBH に着目して考える。
<B
(2) 半径Rの球の体積は12/27
4
TR3
C
(3) 内接する球の中心をI とすると, Iから正四面体
の各面に下ろした垂線の長さは等しい。 正四面体を
Iを頂点とする4つの合同な四面体に分けると
(正四面体 ABCDの体積)=4×(四面体 IBCD の体積 )
これから, 半径を求める。
(例題167(3) で三角形の内接円の半径を求めるとき,
三角形を3つに分け, 面積を利用したのと同様)
(1) 頂点Aから底面 ABCD に垂線AH を下ろし、外接
する球の中心を0とすると, 0 は線分AH上にあり
ゆえに
OA=OB=R
√6
3
OH=AH-OA= a-R
△OBHは直角三角形であるから, 三平方の定理により
BH2+OH2 = OB2
a-R=R2
B
3
<AH=-
√6
~a,
a
BH=
√3
C
下は基
170 (1) の結果を
SA
よって
3
整理して 2-
2√6
-aR=0
3
ゆえに R=
3 √6
a=
a
2√6 4
(2) 正四面体 ABCDの体積をVとすると
また、半径R の球の体積を V. とすると
4
V=-
√2
12
93
B
✓2
a³
V=-
12
170 (2)の結
よって
√6
=
3
V1:V=
√6
8
√2
=9:2√3
12
