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演習 例題133 方程式の整数解 (3) 絞り込み 3
OO000
次の等式を満たす自然数x, yの組をすべて求めよ。
(1) x-2xy+2y?=13
(2) 類立教大
(2) x°+xy+y°=19
演習 132
であることを値の
指針> (1) xー2xy+y?=(x-y)° に注目。一般に, (実数)20 …
絞り込み に利用する。 方程式を変形すると, (x-y)+y°=13 から (x-yy=13-y
ここで,(x-y)N0であるから, 13-y°20 として, まずyの値が絞り込める。
(2) この方程式では左辺がx, yの対称式(x とyを入れ替えても同じ式)であることに
注目するとよい。
前ページの参考で示した, x<yを仮定して進め,最後に大小関係をはずす..
方法で進めることができて, 値の絞り込みが効率よく行える。
不等式による 自然数の解なら(文字式)<(自然数)の形を
値の絞り込み 2(実数)20 の利用 3判別式 D20の利用
CHART
解答
(1) x-2xy+2y=13から
よって(x-y)=13-y°20
(x-y)+y?=13
<13
別解(1) 判別式 D20の
利用の方針でyの値を絞り
込む。等式から
x°-2yx+2y?-13=0
このxの2次方程式が実数
解をもつから,判別式をD
とすると
ゆえに
したがって
y=1, 2, 3
[1] y=1のとき, ①は (x-1)°+1=13
よって(x-1)?=12
[2] y=2のとき, ① は (x-2)+2°=13
よって(x-2)?=9
xは自然数であるから
[3] y=3のとき, ① は (x-3)*+3°=13 :. (x-3)%34
これを満たす自然数xはない。
D20
ゆえに x-2==±3
きく
D
4
作 (-y-1(2f-13)
x=5
=-y+13
よって,-y°+1320から
yS13
ゆえに x-3=±2
よって x=5, 1(適する)
[1]~[3] から
以後の解答は同様。
