この問題のzを極形式で(rとθを用いて)解答出来ないか教えて欲しいです。また2枚目の事が言える理由を知りたいです(zは複素数)。

IG 重要 例題29 不等式を満たす点の存在範囲(3) OO た式と同値、 S10 を満たすとき, 点zが存 重要5 16 そを0でない複素数とする。zが不等式2<z+ 在する範囲を複素数平面上に図示せよ。 の表す領域。 指針> 2szt 16 S10 と不等式で表されているから,z+ 16 は実数である。 を適用して導かれる条件式に注目。 別解 そこで,まず が実数→ なお,z+ の式であるから,極形式を利用する方法も考えられる。 0のとき 解答 2=r(cos0+isin0) 16 マ+ は実数であるから 別解 (r>0, 0<0<2元)とすると 16 16 え+ =z+ る 16 つ実部。 16 16 え+ 2 よって +2=ニ+ (z-z)|zf-16(2-2)30 (z-2)(l2f-16)=0 (2-2)(|2|+4)(la|-4)3D0 または ||=4 [1] =z のとき, zは実数である。 ゆえに zピ+16z=z|z}+16z -(+)os0 +(-) sino 16 よって 11l2 2), Al 16 ゆえに よって AP< 16 は実数であるから え+ したがって 点A 等分線 こある。 2 ス=ス イ2|>0 から, |2|=-4は不適。 16 =0 またはsin0=0 rー r 16 が成り立つための条件は2>0であり,このとき すなわち r=4 または0==0 または0=π 2<z+ (相加平均)2(相乗平均)により 16 22, 16 =8 [1] r=4のとき る 16 z+ -=8cos0 (等号はz=4のとき成り立つ。) 16 すなわち, 2<z+ よって,2<8cos0<10 と -1Scos0<1から は常に成り立つ。 16 A10を解くと, z?+16<10z から -Scos0<1 ス>0のとき, z+ [2] 0=0 のとき 2<zS8 (2-2)(z-8)三0 [2」 a|3D4 のとき, 点々は原点を中心とする半径4の円上に したがって 16 16 ス+ =r+ 2 r 16 =ス よって,2<r+ 16 <10 r ある。22=4° であるから 16 ら 2SrS8 2<z+ -A10から 2<z+z<10 [3] 0=πのとき ど 16 ス+ 16. ス十z Tゆえに 1S- - A5 r+ r ニー 2 x これは条件を満たさた 以上から,左図の太線音 すなわち 1S(zの実部)<5 0|11 2 /4 [1], [2] から, 点zの存在する範囲は, 右図の太線部分。 -4

マーカーのところで、不等式だと実数なのはなぜかがよく分かりません。

重要 例題29 不等式を満たす点の存在範囲 (3) 57 るを0でない複復素数とする。 aが不等式2<z+ 在する範囲を複素数平面上に図示せよ。 16 <10 を満たすとき, 点zが存 る 重要5 指針>2Sz+ 16 ハ10 と不等式で表されているから, z+ 16 は実数である。 る そこで,まず が実数→ を適用して導かれる条件式に注目。 なお,z+ の式であるから, 極形式を利用する方法も考えられる。 別解 1章 解答 16 a+ は実数であるから2+-2+ 16 =a 別解 2=r(cos 0+isin0) (r>0, 0s0<2元) とすると 16 16 よって +使%3Dz+ 16 ゆえに 2f+16z=z|z}+16z 16 え十 2 16 cos 0 (z-z)|2f-16(zーz)30 (2-2)(aパ-16)=0 (z-2)(la|+4)(lal-4)30 または |2|=4 [1] =z のとき,zは実数である。 よって ゆえに +-)ine 16 よって 16 したがって え+ は実数であるから |>0 から, a|=-4は不適。 ス=2 る 16 rー =0 または sin0=0 r 2Sz+ 16 が成り立つための条件はz>0であり,このとき すなわち r=4または030 る 16 =8 または0=π [1] r=4のとき 16 (相加平均)2(相乗平均)により ス+ 2, 16 (等号はz=4のとき成り立つ。) =8cos0 2+ 16 すなわち, 2<z+ は常に成り立つ。 よって, 2<8cos0<10 と -1Scos0S1から 16 <10 を解くと, +16<10z から 1 Scos0s1 4 z>0のとき, z+ [2] 0=0 のとき (z-2)(z-8)50 したがって 2SS8 16 16 -=r+ r ス+ [2] |2|34 のとき, 点zは原点を中心とする半径4の円上に 16 =z る 16 A10か r よって,2Srt+ ある。22=4° であるから ら 2SrS8 2Sz+ 16 <10から 2Sz+z<10 [3] 0=xのとき 4 ス+5--(+)<0 16 ス+2 15s5 ゆえに 2 X これは条件を満たさない。 以上から,左図の太線部分。 O1 2 4 8 すなわち 1S(zの実部)5 [1], [2] から, 点zの存在する範囲は, 右図の太線部分。 10 iを結ぶ線分上を動くとき, 3 練習 えを0でない複素数とする。点zーーが2点。 00 4復素数と図形

この問題は、虚数があるから、ばーをつけるという考え方　ようするに、虚数の絶対値のような、問題があったら、２乗してばーを付けるという解き方で固定化したほうがいいんですかね？

2421- 42- 2 2 g+ 42-4-4(z'_2i2-1 ] 42-8i2-4 ニ 332 - 122i 22-42) 2-41 22

数3青チャートの極形式の問題です。 (3)が全体的に分かりません。 分かる方詳しく教えていただきたいです🙏

π +isin-のとき 2 π 次の複素数を極形式で表せ。 5 (3) 2=CoS (2) -2 p.19 基本事項 1 重要9 指針> 複素数え=a+bi (zキ0) について atbi b 絶対値rは r=V '+が (右図参照) b a 偏角0は cos0=", sin0=- 0 a →極形式は a=r(cos0+isin0) (3) 複素数平面上に点2zを図示すると考えやすい。 CHART a+biの極形式表示 点a+biを図示して考える 解答 (1) 絶対値は 1(-1)+(/3)32 ¥3 slsteie -1+3i 偏角0は sin0= 2 3 COs 0=- 0S0<2元 であるから 2 TT 3 2 2 0= π 3 0 X したがって -1+/3i=2(cosェtisin COS (2) 絶対値は 偏角0は (-2)32 先) (2) y4 cos 0=0, sin0=-1 3 27 3 J 0= 2 0S0<2元 であるから π x -2:-2(cos ォ+isin ) 3 -元+isin したがって 3 -2-2 os"工 +sin' =D1, 偏角は ?T 5 点2をは,点えを実軸に関して対称移動し,原点からの距離を 2倍した点である。よって, 2z の絶対値は2,偏角は (3) 2の絶対値は 2 T - 3) A 5 5 π 5 2 0 図 ー「偏角0は0名0<2x」の条件があ x π 2元 5 9 π 5 一 三 るため,このように考えている。 2 25=2(coオ+isin) したがって 9 元+isin 9 2z ーtF ズド。

AB/AC=2とあるのですが2はどこからでてきたのでしょうか？

3 OO0 三角形の形状(1) … 基本 60 基本 例題31 (2) α+iB=(1+)y 大きさを求めよ。 基本30 B-a =1+\3iと変形で Y-Q -=D+qiの形に直す。 例えば, (1)では 指針> まず,式を から,1+/3iを極形式で表すと 18-al_ AB AC Ty-al →2辺 AB, ACの長さの比 ア-Q B-a から * arg ZCAB →2辺 AB, AC の間の角 Y-Q この2つを調べることにより, △ABCの形状がわかる。 CHART 三角形の形状問題 隣り合う2辺の絶対値と偏角を調べる 解答 B-a-1+/3i=2(cos AB(B) 1+V3i=2| B-a| 18-a_AB =2 |y-a|AC ゆえに | (1) 8=2{cos T tisin; ニ 三 ソ-Q 2 よって AB:AC=2:1 x(y- B-a また, arg から ZCAB=- 3 π 3 この形から,点Bは π 三 ア-Q A(a) "C(y) ゆえに,△ABC は AB: BC: CA=2: /3:1の直角三角 3 を中心として点C け回転し,点Aか 形であり A=. ZB=". 2C=Z を2倍した点であ 3'

指針の下線の部分が分かりません。 不等式で表されているとなぜ実数となるのでしょうか！

57 重要例題29 不等式を満たす点の存在範囲(3) OOOO0 るを0でない複素数とする。zが不等式2<z+ 在する範囲を複素数平面上に図示せよ。 16 ハ10を満たすとき, 点zが存 重要5 指針S2Sz+ 16 -SWと不等式で表されているから,z+ 16 は実数である。 そこで,まず が実数→ ●==● を適用して導かれる条件式に注目。 なお,z+ の式であるから, 極形式を利用する方法も考えられる。 別解 る 1章 解答 別解 =r(cos0+isin0) (r>0, 0S0<2元) とすると 16 は実数であるから 16 =z+ 16 ス+ る 16 16 16 ス+ よって z+ =z+ る ゆえに ピ+16z=z|z}+16z る 16 Icos 0 r (2ーz)|2パ-16(z-)=0 (2-2)(12パ-16)=0 (2-2) (2|+4) (lz-4)30 または ||=4 [1] 2=z のとき, zは実数である。 よって +-)ine 16 Jsin0 ゆえに よって したがって 16 マ+ る は実数であるから z|>0から, ス=ス |2|=-4は不適。 16 -=0 または sin0=0 アー- r 16 2<z+ すなわち r=4または0=0 または0=π [1] r=4のとき が成り立つための条件は z>0であり, このとき 16 ミー+ =8 る 16 (相加平均)2(相乗平均)により 16 ス+ =8cos0 (等号はz=4のとき成り立つ。) る すなわち,2<z+ 16 は常に成り立つ。 よって,2S8cos 0<10 と -1Scos0<1から ハ cos0S1 16 ス>0のとき, z+ ハ10を解くと, z2+16<10zから [2] 0=0 のとき (z-2)(z-8)<0 |2|=4 のとき,点々は原点を中心とする半径4の円上に したがって 2SzS8 16 =r+ r 16 ス+ ある。2z=4° であるから 16 =ス よって, 2<r+ 16 A10か r 2 4複素数と図形

複素数平面の問題です。 解説お願いします。

次の問いに答えよ。ただし, 偏角0は0<e<2π とする。 25=1を満たす, 複素数 2 をすべて求めよ。 以下,25=1 かつぇキ1 を満たす複素数zのうち, 偏角が最小となるものをαとする aはa'+a°+«?+a+1=0を満たすことを示せ。 a=a4, (a)?=α* となることを示せ。ただし, aはαの共役な複素数を 表している。 cos(arg a) の値を求めよ。 ただし, arg aはαの偏角を表す。

二枚目の平行四辺形の方の問題では、問題文の平行四辺形を表す、アルファベットの順序によって、一意に定まると書いてありますが、一枚目の方もアルファベットの順序がOABと書いてあるのに、角a、b、oのどれが直角かの場合分けごとに、二つの図形が出てきて一意に定まっていません これは... 続きを読む

基本 例題74 平行四辺形の頂点の座標 ( A(7, 3), B(-1, 5), C(5, 1), Dを頂点とする平行四辺形 ABCD の頂点 D の座標を求めよ。 (2) 3点A(1, 2), B(5, 4), C(3, 6) を頂点とする平行四辺形の残りの頂点 D の座標を求めよ。 D.113 基本事項 4 指針> 平行四辺形の対角線は, 互いに他を2等分するから, 2本の対角線の中点が一致する。 このことを利用して, 点Dの座標を求める。 (1) 普通, 平行四辺形 ABCD というように, 頂点の順序が与えられているときは, D の位 置は1通りに決まる。 (2) (1) と異なり,頂点の順序が示されていないから, 平行四辺形 ABCDと決めつけては いけない。 ABCD, ABDC, ADBCの3つの場合を考える。 解答 頂点Dの座標を(x, y) とする。 (1) 対角線 AC, BDの中点をそれぞれ M, Nとすると 7+5 3+1 5+y B- (NOW )) N-1+x 2 点Mは点Nと一致するから 2 12 -1+x 5+y 22 x=13, y=ー1 D(13, -1) 2 22 2 よって ゆえに (2) 平行四辺形の頂点の順序は, 次の3つの場合がある。 [2] ABDC [3] ADBC [1] ABCD 」の場合,対角線は AC, BDであり, それぞれの中点を 1+3 5+x 4+y M(, 240) ( ) B M, N とすると 8 x+9 4+y M, N の座標が一致するから 2 22 22 22 埼討

二枚目の平行四辺形の方の問題では、問題文の平行四辺形を表す、アルファベットの順序によって、一意に定まると書いてありますが、一枚目の方もアルファベットの順序がOABと書いてあるのに、角a、b、oのどれが直角かの場合分けごとに、二つの図形が出てきて一意に定まっていません これは... 続きを読む

基本 例題74 平行四辺形の頂点の座標 ( A(7, 3), B(-1, 5), C(5, 1), Dを頂点とする平行四辺形 ABCD の頂点D OOOO0 の座標を求めよ。 (2) 3点 A(1, 2), B(5, 4), C(3, 6) を頂点とする平行四辺形の残りの頂点D の座標を求めよ。 D.113 基本事項4 指針> 平行四辺形の対角線は, 互いに他を2等分するから, 2本の対角線の中点が一致する。 このことを利用して, 点Dの座標を求める。 (1) 普通, 平行四辺形 ABCD というように, 頂点の順序が与えられているときは, Dの位 置は1通りに決まる。 (2) (1) と異なり,頂点の順序が示されていないから, 平行四辺形 ABCD と決めつけては いけない。ABCD, ABDC, ADBCの3つの場合を考える。 解答 頂点Dの座標を (x, y) とする。 (1) 対角線 AC, BDの中点をそれぞれ M, Nとすると -1+x 5+y B (N)W M(723, 241), N(=t, ) 7+5 3+1 点Mは点Nと一致するから -1+x 2 5+y | 2 12 77 よって 2 x=13, y=-1 D(13, -1) ゆえに (平行四辺形の頂点の順序は, 次の3つの場合がある。 「3] ADBC Da

（4）の問題なんですけど、 なんでcosの方も変形するのでしょうか？sinの方だけ変えればいいのでは？と思ったのですが、どなたか教えていただきたいです🙇‍♀️

3 3 17. 21=V2 (cos 17. z=/2(cos+isin), 2ュ=3(cos 22=3| cos 5 -+isin)とするとき, 次の複素数 5 5 5 を極形式で表せ。 22 ら 0枚い *(1) Z122 21 0: 2 (3) 2 る122