基礎問
20
M28=X
www.
66 第2章 2次関数
が
精講
^.
37 最大・最小 (IV)
x,yがすべての実数値をとるとき, z=x²-2xy+2y^+2.cc-4y+3
について,次の問いに答えよ.
(1)yを定数と考えて, x を動かしたときの最小値をyで表せ
(2)(1)のmにおいて,yを動かしたときの最小値を考えることで,
TEATR
zの最小値とそのときのx,yの値を求めよ.
変数が2つ(xとy)ありますが,36のように文字を減らすことが
できません.このような場合でも,変数が独立に動くならば、片方
の文字を定数と考えることによって, 最大値や最小値を求められます。
解答
(1) z=x²-2(y-1)x+2y²-4y+3
0+³0m
={x-(y-1)}2-(y-1)2+2y2-4y+3
={x-(y-1)}2+y2-2y+2
よって, m=y²-2y+2
(2) m=y2-2y+2=(y-1)^+1
∴.z={x-(y-1)}2+(y-1)2+1
{x-(y-1)}2≧0, (y-1)2 ≧0 だから
x-(y-1)=0 かつ, y=1, すなわち
x=0, y=1のとき, 最小値1をとる.
041
【式をxについて整理
平方完成
A,Bが実数のとき
A'+B°≧0
等号は A=B=0
のとき成りたつ
ポイント2変数の関数の最大 最小を求めるとき,それらが独
立に動くならば,片方を定数と考えてよ
い
3:
