問題
1 1 1
+ +
1
であるとき, x+y, y+z, z+x のうち少なくとも1つは0で
x y Z
x+y+z
あることを証明せよ。
模範 1 1 1
1
+ + =
の両辺に xyz(x+y+z) を掛けると
解答
x
2 x+y+z
よって
ゆえに
(x+y+z)(yz+zx+xy) = xyz
{x+(y+z)}{(y+z)x+yz}-xyz = 0
(y+z)x2+(y+z)2x+yz (y+z) = 0
(y+z){x2+(y+z)x+yz}= 0
(y+z)(x+y)(x+z ) = 0
y+z=0 または x+y=0 または x+z=0
したがって, x+y, y+z, z+xのうち少なくとも1つは0である。