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剰余の定理利用による才りの問題/ ゆ⑳②
(1) 整式 /(x) を *ー1 で割ると余りは 5, *ー2 で割ると余りは 7 となる
/ とき、 Pr) をセー3x十2 で割った余りを求めよ。 伯
誰 整式 /(*) をセー1 で割ると 4yー3 余り, x“ー4 で宮ると 3z5 余る』
| とき,P(x) を 2二8x二2 で割った余りを求めよ。 頃
指針> P(x) が具体的に与えられていないから, 実際に割り算して余りを求めるわけにはい
い。このような場合 割り算の等式 4三0十7 を利用する。……… 較
特に, 余り の次数が割る式 の次数より低い ことが重要なポイント !
2 次式で割ったときの余りは1 次式または定数であるから, アー=or十の とおける。
条件から, この4, ひの値を決定しようと考える。それには, 割り算の等式 4=ニO+
で, 三0 となる x の値 (これを 旬 とする) を考えて, /(代) の値を利用する。
基本等式 4ーニ0Q二
呈 系
時馬 直の の数に注意 | な0 を考える
上衝 入
(1) ア(⑦) を ダー3x寺2 すなわち (xー1)(xー2) で割ったとき 32 次式で割った余りは,
の商を 0(>)。 余りを x十) とすると, 次の等式が成り立つ。 | 1次式または定数。
7/(*)テ(xー1)(*ー2)の(z)二Zr十の …… ⑦ 4g=(xー1)(x-2)
条件から /(1)=5 ゆえに g十6=5 …… (① | 4利祭の定理。また。のの|
/(2)=7 ゆえに 2g十5=7 …… ② 画連に ャ=] を代入する
①, ②を連立して解くと =ニ2, 5=3 と Z①)=z+ヵ
よって, 求める余りは 2x+3
2) (z) を*十3zx二2 すなわち (x+1)(r二2) で割ったとき
2 次式で割った余
の商を 0(<), 余りをx+ とすると, 次の等式が世り立つ。 は
1 次式または定数。
(>)ニ(rオ1)(xす2)0(x)十Zx寺の …… の 2g=(x+1)(r+2)
また, ア⑦) を メダー1。ァパー4 すなわち (填1)(zー1), 2. 2の値を決定するため
(*+2)(ベー2) で割ったときの商をそれぞれ Qi Q(⑦と | 計D のか
すると Zぐ=<+1)(*ー1Q,(⑦)+4v-3 … ① 軸遇結いにを
ZG)=テ(>+2)(xー2)(x)二3x十5 …… @② 区前NT
① がら 71)ミミ7 これど のから 2F2=テニー7 ③
のかの二(三2三み1 とれとのから 22十6ミー1 .…… ④
③, ④ を連立して解くと ogニー6, 5ニー13 求める余りは
