オイラー線の証明の問題です。 OH、AMを結び相似であることを証明して、GH:OG=2:1を示す、というところまではわかったのですが、肝心の照明の仕方がわかりません……💦 どなたか教えていただけたら嬉しいです🙇‍♀️

直線OH をオイラー線といいます。 課題4 上でまとめた関係が成り立つことを,下の△ABC を用いて証明して みましょう。 ヒント △ABCの外心を0, 垂心を H, 辺BCの中点をMとすると AH : OM=2:1が成り立ちます。 これを利用しましょう。 AMとOH の交点をGとおく。 B M A ( H C

四角で囲った部分はどのようにして求めるのですか？重心であるとなにを利用できるのでしょうか

「図のように半径2の円1個と半径rの円3個が互いに接してい る。 の値を求めなさい。 よって, 8 Her [解説] 「円の中心どうし」をまず結ぶ。また,この図形は対称の軸をもっていることにも着目する。 半径2の円の中心を0,残りの3つの円の中心をP, Q R と する。 3点P,Q, R を結んでできる三角形は正三角形だから,図の ようにQから PRへ垂線 QH を引けば, HはP, R を中心にも つ円の接点と一致する (直線QHは対称の軸になっている)。 また, OP=OQ=OR から, 点0は正三角形PQR の外心か つ重心であることもわかる。 r>0より OH =rx √3 x △ORHで三平方の定理より, (r+ 2)2 = r2 + r2-12r-12 = 0 r = 6±4√3 r=6+4√3 MA HR = x, OR = 2 + r OH, OPQR の重心であることを利用して 13 バラバチAD == CV-OFF XFRYSEM 3 = [別解] ∠HRO=30°より, △HOR で, HR : OR = r : (r + 2) = √3:2 これを計算し,r=6 +4√3 を得る。 48 0 8+8=90 + (1) 〈中央大学杉並高等学校 〉 問題 P.87 P. H 304 08=38\ 6 = BC=8cm CA-7cmの POKELEN (08.44) 010 à 3 6 S=6=_=D=98 *+) QE = (8 + V + 8) = − R 4r+2 【解答 r = 6 +4√3 テーマ1円と接する円 12

求め方を教えてください🙏

23° a b 320 点 は三角形ABCの外心

正四面体の1頂点から向かいの三角形に下ろした垂線と三角形との交点は、その三角形の各頂点からの距離が等しいのでその三角形外心であるというのは分かりますが、その三角形の重心であると言える理由を教えてください

なぜ①②ならばBCが中点になるのか分かりません、 教えて欲しいです

LOCA=∠OAC=B また (25°+B+60°+ (35°+B) = 180° したがって B=30° 別解(βを求める別解) 180°-2β=2a=120° 180°-120° 2 よって β= -=30° CATE PR 外心と垂心が一致する △ABCは正三角形であることを証明せよ。 662 △ABCの外心をOとすると の交OBOC ...... また、頂点Aから辺BCに下ろした垂 線をAD とする。 点は,条件より △ABCの垂心でも あるから,点OはAD上にある。 ODBC TUMAINTE ...... ...... 2-4-8OC=OA A3+3OELCA よって,点Eは辺 CA の中点であり, 頂点Bは辺 CA の垂直二等分線上にある。 ゆえに BC=BA ③. ④から AB=BC=CA したがって, △ABCは正三角形である。 B TING A B D よって ① ② から,点Dは辺BCの中点である。 ゆえに,頂点Aは辺BCの垂直二等分線上にある。 よって AB=AC 3 CHEC また、頂点Bから辺CAに下ろした垂線を BE とすると,同様HA して A C E 【OB = OC Qα=∠OBA + ∠OBC COCOA △ABCの内角の和は 180° 円周角の定理 △OBC は OB = OC の二等辺三角形。 (1) □ △ABCの3頂点から の垂線はすべて点Oを通 る。 JUES SHAG CE=AE

例題60で 最後らへんで これはCA🟰BAではなくないですか？ 比が等しいと言っているだけと思ったのですが、、💦 何故か分からないので教えて欲しいです

二等分 の外角 DEの 基本 64 5 基本例題 60角の二等分線と比の利用 00000 「Eとする。 DE // BC ならば, AB AC となることを証明せよ。 △ABC の ∠C, ∠B の二等分線が辺AB, AC と交わる点を,それぞれD, CHARTO SOLUTION 平面図形の証明問題 条件を明確にする 平面図形の証明問題では,問題文の平面図形に関する 用語・記号を四角で囲むなどして、 解法の方針を見つ けやすくする。この例題では, ZB の二等分線, ∠Cの二等分線 定理1(三角形の角の二等分線と比) DE//BC ⇒ 平行線と線分の比 を利用して, AB=AC を示す。 直線 CD は ∠Cの二等分線であるから ･① AD: DB=CA: CB ...... 直線BE は ∠B の二等分線であるから AE: EC=BA : BC.∵ 一方, DE // BC であるから ②④から ①③から AD: DB=AE: EC・・・ |CACB=AE: EC CA: CB=BA: BC ...... したがって CA=BA すなわち AB = AC CACB=BABC (4) (1) A B (2) B (3) B A E C C A (0) E B p.325 基本事項 2 D A E (線分比) =(三角形の2辺の比) ◆CA: CB=BA: BC ↑同じ辺 INFORMATION 平面図形の証明問題を解く手順 ① 問題文の平面図形に関する用語・記号を四角で囲む。 ②与えられた条件をもとに図をかく。 場合によっては補助線を引く。 1③ 注意 証明の中で新たにつけ加える線分や直線のことを補助線という。 四角で囲んだ用語 記号から, 適用できる定理がどれなのかを考える。 そして, 図を参照しながら、式を立てる。 187509GRO BAZ Not 329 3章 7 三角形の辺の比,外心,内心、重心

(2)です！ 解説のβの求め方が全く理解できません🤔💭それと、横に「円周角の定理」とありますが、これはどこのことを言っているのでしょうか…？ 他の簡単な解法等ありましたらそちらも教えていただきたいです🙇🏻‍♀️ 追記　360°-β=2∠BAC=260°の部分が特にわかりません

△ABCの外心をOとする。 右の図の角 α, βを求めよ。 (1) B 20% 0 A 70° B C (2) B 20° A B 30° C

すごく当たり前のことを聞いていたらすみません。黒い線で囲まれた部分の赤とピンクの蛍光色の部分がわかりません。方冪の定理でなぜOX•OA=OY•ODが示されると接線の長さが等しいのでしょうか。

を意味する. 良問 【基礎 0.3.9】 (1995TOT 秋 JO 間4) 三角形 ABC の LA の二等分線と辺BCの交点を M とし, LA の外角の二等分線と直線BC の交点を N とする. また, 三角形 ABCの外接円の点Aにお ける接線と 直線BC の交点を K とする. このとき MK =KN を証明せよ。 B db A M /CK となり, MK AK が得られる. また, LCAN = LNAD より a D N 解答図のように,線分 BA のAの方向への延長上 に点Dを取る. 接弦定理より LCAK = LABM で ある. LBAM=LMAC より LKMA= LBAM + LABM =外角 = LMAC + LCAK = LKAM LKNA + LABM = LNAD = LCAN =LKAN+LCAK ba b であるので, LABM=LCAK 各辺から引いて LKNA = LKAN が得られる. したがって AK = KN である. これと MK = AK より MK =KN がわかる. 0 0 注 Kは直角三角形 AMN の斜辺の中点で, その 外心である. 【基礎 0.3.10】 (1995TOT 春 SA 問3) 台形の互いに平行でない2辺を直径とするふたつの 円を考える. 台形の対角線の交点がこのふたつの円 の外にあるとき、 対角線の交点からふたつの円に引 いた4本の接線の接点までの線分の長さは、 すべて 等しいことを証明せよ. 解答 AD // BC である台形 ABCD の 対角線の交 点をOとする. また AB を直径とする円と直線 AC の A 以外の交点を X とし, CD を直径とする 円 T2 が BD と交わる D以外の点を Y とする. 同じ円に対する2本の接線の長さは等しいの で, 0 から T1, T2 に引いた接線の長さが等しい ことを示せばよい。それには、方の定理から。 OX-OAOY･OD を示せばよい。 三角形 AOD と COB は相似であるから, OC OB である. また三角形 OBX と三角形 OCY は相似である。 (なぜなら LXOB = LYOC, LOXB = LOYC = OC OY であり、ゆえに OB OX つまり OX-OA = OYOD となり 0 90° である) よって = OA OY OD OX' 証明が完了した。 B A AS OA OD D C ●アポロニウスの円 2定点A,B までの距離の比が一定値k (≠1) で ある点Pの軌跡は CD を直径とする円である. こ こで C, D は直線AB上にあり、符号付き長さで AC:CB=AD: DB を満たす2点である. このC. DをA,Bの調和共役点と呼ぶ.

解き方がわからないので教えてください🙏🏻 数A 外心の性質

(3) B X V O 67° A C 75° 8

これって暗記した方が良いですか？早慶志望です。

ABS + AC する。 =0 H 考 内心,垂心,外心の位置ベクトルイ ME TA 1:30 例題25, 26, 28 では,辺の長さが与えられた場合の三角形の垂心,内心,外心の位置ベク とき,,, トルについて扱ったが, ここでは,これらの位置ベクトルが, A (a), B(b), C (C) である どのように表されるかを説明しよう。 以下、△ABC に対し, A (d), B(),C(),BC=a, CA=b, AB=cとする。 三角形の内心の位置ベクトル △ABCの内心を( ) とし,∠Aの二等分線と辺BC の交点 をDとすると BD: DC=AB:AC=c: b よって ゆえに AD= ca また BD= b+c B の二等分線と線分 AD の交点がⅠであるから AI: ID=BA : BD=c: よって Ai= BAB + CAC c+b C b+c したがって=d+ •a= b+c (b+c)+a -AD= ca b+c MOTO-AOP B =(b+c): a b+c a+b+c b attAB+ a+b+cAC a+b+c i-a=a+b+c(6-ä)+a+b+c(c-à) 三角形の外心の位置ベクトル △ABCの外心をO ( ) とすると BAB + CAC b+c 17+56 CES ħ = (tan A)ā+(tan B)¯+(tan C)ć tan A+tan B+tan C -20 b-ba+cc-ca_aa+b+cc02>VOR> a+b+c D 44800)-11 "SORRS (*) $ 8S HR MAO D (sin 2A)ã+(sin 2B)+(sin 2C) sin 2A+sin 2B+sin 2C a+b+c 心,外心の位置ベクトルについては,それぞれ次のように表される。 これらの結果が導 かれる過程は, 解答編 p.314, p.315 参照。 三角形の重心の位置ベクトル △ABCの垂心をH ( ) とすると ÃO B 2C H B' -57-BA 2-15A A C 2A 2B 14 位置ベクトル、ベクトルと図形 1章