例題
5
解
2重解をもつ3次方程式
方程式x+ (2a+1)x+3ax + α = 0.① が2重解をもつとき,定数aの値を
求めよ。
方程式の左辺を因数分解すると
よって, 方程式 ① が2重解をもつのは
(x+1)(x2 +2ax+a) = 0
(i) x2 +2ax+α = 0 が x = -1 以外の重解をもつ。
(ii) x2 +2ax+α = 0 が x = -1 と x=-1 以外の解をもつ。
のいずれかが成り立つときである。
(i) のとき
x2+2ax+a=0… ② の判別式をDとすると, D = 0 であるから
よって
a=0のとき, ② は x2 = 0 となるから, x=-1以外の重解x=0 をもつ。
a=1のとき, ② は x2 +2x+1 =
0 となるから, 重解はx= -1 となり, 条件を
満たさない。
(LER)
(ii) のとき
② は x = -1 を解にもつから
(-1)² +2a (-1)+a=0
D
4
= α-1.a=α(a-1)=0
a = 0,1
代入して
よって
a=1
このとき, ② は x2 +2x+1 = 0 となるから, x=-1 以外の解をもたず、 条件を満
たさない。
(i), (ii) より 求める定数αの値は
a=0
