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k>Oが日本 例題 14 2次不等式がある区間で常に成り立つ条件
0 が成りな定数mの値の範囲を求めよ。
する。
171 基本事項 この問題ではxの変域に制限があるから, 例題113 と同じように考えてはダメ!
そこで,問題をグラフにおき換えてみると, 求める条件は
「0≦x≦8 の範囲でy=x²-2mx+m+6のグラフがx軸より上側にある」
ということ。これを(区間内の最小値)>0と考えて進める。
JART 不等式が常に成り立つ条件 グラフと関連づけて考える
*+c≤0⇒
答
る条件は 0≦x≦8 におけるf(x)=x2-2mx+m+6の最
が正となることである。
a> 0, D<=(x-m)²-m²+m+6であるから, 軸は直線x=m
[1]
m<0のとき, f(x)はx=0で最小
なり, 最小値はf(0)=m+6
よって m>-6
> 0, D<01
x8 のすべてのxの値に対して,不等式x2-2mx+m+6> 0 が成り立つよ
[類 奈良大 ] 基本 79
ての実数x」 まえに m+6>0
に対して不<0であるから(*)
-6<m<0
(1)
YOS EX
その不等式の影.0≦m≦8のとき, f(x) は x = m で最
あるということとなり,最小値は
D<0 は、 下に引
AXO [2]
f(m)=-m²+m+6
油より上側にあえにm²+m+60
なわち m²-m-6<0
グラフがx軸れを解くと, (m+2)(m-3) <0から
-2<m<3
油より下側にお
●から、D≦m≦8であるから
as-3
[3]
0≦m<3 ...... (2)
8mのとき, f(x)はx=8で最小
なり、最小値はf(8)=-15m +70
えに, -15m +70> 0から m<
14
3
これは8<m を満たさない。
る の値の範囲は, ①, ② を合わせて
m
0
0m8
8x
V
m
0
8
-6<m<3
POINT f(x) の符号が区間で一定である条件
区間でf(x)>0
区間でf(x)<0
x
20
2
f(x)=x2-2mx+m+6
(0≦x≦8) の最小値を求め
る。 → p.130 例題 79 と同
様に,軸の位置が区間
0≦x≦8の左外か,内か,
右外かで場合分け。
[1] 軸は区間の左外にあ
るから,区間の左端
(x=0) で最小となる。
[2] 軸は区間内にあるか
ら, 頂点 (x=m) で最小
となる。
[3] 軸は区間の右外にあ
るから、区間の右端
(x=8) で最小となる。
(*) 場合分けの条件を満た
すかどうかの確認を忘れずに。
[1], [2] では共通範囲をとる。
合わせた範囲をとる。
の最小値]>0
[区間内のf(x)
[区間内のf(x)の最大値] < 0
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3章
3 2次不等式
13
