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基本 例題 29 不等式の証明 (絶対値と不等式)
00000
次の不等式を証明せよ。
(1)|a+6|≦|a|+|6|
(2)|a|-|6|≦|a-bl
p.42 基本事項 4. 基本 28
CHART & THINKING
似た問題 1 結果を使う
② 方法をまねる
(1)絶対値を含むので、このままでは差をとって考えにくい。 |A=A2 を利用すると,絶
対値の処理が容易になる。 よって、 平方の差を作ればよい。
(2)証明したい不等式の左辺は負の場合もあるから, 平方の差を作る方針は手間がかかり
そうである (別解 参照)。 そこで, 不等式を変形すると
|a|≧|a-6|+|01 ← (1) と似た形になることに着目。
①の方針で考えられそうだが, どのように文字をおき換えると (1) を利用できるだろうか?
解
牛
(1)(|a|+|6|2-|a+b=(a+2|a||6|+16)-(a+b)2
よって
=q2+2|46|+62-(a2+2ab+62 )
=2(labl-ab)≧0
(*)
la+b≦(|a|+|6|)2
|a+6|≧0,|a|+|6|≧0 であるから |a+6|≦|a|+|6|
別解 -lal≦a≦|al, -66|6| であるから
辺々を加えて -(|a|+|6|)≦a+b≦|a|+|6|
|a|+|6|≧0 であるから la+6|≦|a|+|6|
(2)(1)の不等式の文字αを a-b におき換えて
| (a-b)+6≦la-6|+|6|
よって|a|≦la-6|+|6| ゆえに |a|-|6|≦la-6|
別解 [1] |a|-|6|<0 すなわち |a|< |6| のとき
(左辺) < 0, (右辺) > 0 であるから不等式は成り立つ。
[2] |a|-|6|≧0 すなわち |a|≧|b のとき
la-6-(|a|-161)=(ab)2-(α-2|ab|+62 )
よって
=2(-ab+lab)≥0
(|a|-161)2≦la-612
|a|-|6|≦|a-6|
|4|-161≧0,10-6≧0 であるから
int A≧0 のとき
-|A|≦A=|A|
A<0 のとき
-|A|=A<|A|
であるから,一般に
-|A|SA≦|A|
更にこれから
|A|-A≧0, |A|+A≧0
c0 のとき
cxcxlsc
x-c, c≤x
⇒xc
②の方針。 α|-|6|が負
の場合も考えられるの
で, 平方の差を作るには
場合分けが必要。
[in 等号成立条件
(1) は (*) から, lab=ab,
すなわち, ab≧0 のとき。
よって, (2) は (6)
ゆえに (a-b≧0 かつ60)
または Cabs0 かつ 0
