138 第1章 数列
例題一般項の推測と数学的帰納法
23 a=-1, an+1=an²+2nan-2 で定められる数列{az} について
(1) az, A3, a を求めよ。
(2)第n項an を推測して, それを数学的帰納法を用いて証明せよ。
解答 (1) a2=a2+2・1・α-2=(-1)2+2・1・(-1)-2=-3
a3=az+2・2・az-2=(-3)2+2・2・(-3)-2=-5
a4=a32+2・3・a3-2=(-5)2+2・3・(-5)-2=-7 圏
(2) (1) から, an=-2n+1.………… (A)と推測できる。 ← A1, A2, A3, 4 は
公差 -2の等差数列。
初項は α=-1 であるから, n=1のとき(A)が成り立つ。
[1] n=1のとき (A) の右辺は-2・1+1=-1
[2] n=k のとき (A)が成り立つと仮定すると
ak=-2k+1
n=k+1のとき ak+1=ak²+2kak-2=(-2k+1)^+2k(−2k+1)-2
=-2k-1=-2(k+1)+1
よって, n=k+1 のときも (A) が成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについて (A) が成り立つ。 終
