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考え方
Check]
例題
244 方程式の整数解 (3)
不定方程式 7x 17y=1 の整数解を求めよ.
不定方程式の一般解を求めるには, 1組の簡単な解 (特殊解) を見つけてそこ
から求める.
特殊解の見つけ方は,
(1) 実際に値を代入していき方程式を満たすx,yを探す
(2) ユークリッドの互除法を用いて, 方程式を満たすx,yを探す。
などがある. それぞれ次のように考える.
(1) 7x-17y=1 の係数に着目すると, 7より17の方が大きいので、
y=1,2,3…. を代入していき、xの値を探す。
y=1 を代入すると,
7x=17+1=18
番
これを満たす整数xはない。
y=2 を代入すると, 7x=34+1=35 -
より, x=5Lの
以上より,特殊解 (x,y)=(5,2)
21.
(2) 7x-17y=1の係数に着目して, ユークリッドの互除法を用いる。
17=7×2+3 ･・･①
7=3×2+1
② より 17-3×2 ….. ③
①より, 3=17-7×2 として,
**
これを③に代入すると,
1=7-(17-7×2)×2
1=7-17×2+7×4
1=7×5-17×2
したがって, 7×5-17×2=1
り 特殊解 (x,y)=(5,2)
また、特殊解は求め方により、 いくつも存在するから,
求める一般解の表し方は、求め方により、 異なる場合
もある.
717 は互いに素な
で 最後に最大公約
数1が現れる.
CH» à  à ³6 1905 zusados 11
さらに,与えられた不定方程式を1つの文字について
解き,x,yが整数であることを利用して求めることもする
できる.(次ページの注を参照 )
そのような上に、メージ
stafia Sstml
解
Flocus
練習
244
7x-17y=1の解の1つは(x,y)=(52) である.
これを不定方程式に代入して、
7×5-17×2=1 ......①
7x-17y=1
_7(x-5)-17(y-2)=0
て 7(x-5)=17(y-2 ...... ③
ここで, 7 17 は互いに素であるから,
x-5は17の倍数
となり
x-517n (nは整数) とおける
これを③に代入すると,
7･17n=17(y-2)
7n=y-2
②-① より
よって, 求める一般解は,
x=17n+5,y=7n+2 (nは整数)
より, y=7n+2
ここで,
7
7
17(y-2)
7
これを①に代入して, x=5+
不定方程式の整数解を求める際には,まず特殊解を見つける
注例題244の一般解は, x=17n+5, y=7n+2 であったが
x=17n-12,y=7n-5
などと表してもよい。
となる.
注 次のように求める方法もある.
(1つの文字について解いて, x,yが整数であることを利用する)
17y+1
7x-17y=1 をxについて整理すると, X=-
17y+1_17(y-2)+35
2 ユークリッドの互除法
=5+
17(y-2)
7
次の不定方程式の整数解を求めよ.
(1) 2x+11y=5
特殊解 (x,y)=(52)
を利用する.
......②
(見つけ方は考え方を
参照)
y-2は7の倍数
17(y-2)
x, 5は整数より、
7
も整数で,717 は互いに素であるから,
Jy-2は7の倍数、すなわち, y-2=7n (nは整数) とおける.
これを②に代入して、x=17n+5 より 求める一般解は,
x=17n+5,y=7n+2 (nは整数)
(2) 4x+3y=1
431
8
整数の性質
