この問題がわかりません。解説お願いします まず平面βがどこにあるのかすらしりません...

例題 246 平面に垂直な直線 **** 1点0で直交する3つの半直線 OX, OY, OZ と平面βとの交点をそれ JA ぞれ A, B, C とする. (1) △ABCの垂心Hに対して, OH⊥平面βであることを証明せよ。 A (2) OA=α, OB=2a, OC=3α のとき, △ABCの面積と, 点0から平 面βまでの距離を求めよ。 の

AK(→)とAC(→)の表記が次の行から無くなっているのがなぜなのか分かりません。 また、点Hが線分CK上にあるとなぜ＝1になるのですか？

C154 (240) 第3章 平面上のベクトル 例題 C1.29 垂心の位置ベクトル **** に下ろした垂線の足をK, 頂点Bから辺 ACに下ろした垂線の足をL. △ABCにおいて, AB=8, BC=7, CA=5 とする. 頂点Cから辺AB BLとCK の交点をHとする. AB=b, AC=cとして、次の問いに答え (1) AK, AL を,cを用いて表せ (2) AHCを用いて表せ. 考え方 (1) AK=kとおき, CK⊥AB より CK・AB=0 を利用して,kの値を求める (2) B, H, Lは一直線上にあるので, AH= (1-s) AB + SAL とおける.さらに、 解答 Hは線分 CK上の点でもあることを利用する. (1) △ABCにおいて, 余弦定理より, 82+52 72 1 cos A=- 2.8.5 2 Think 例題 AA 置ベク (1) (2) [考え方 X-MA-TA-IM K 解答 > b=|b||c|cos A=8.5=202 MA-A AK-kb <, CK=kb-cAM 01 B CK⊥AB より CK AB=(kb−c) b=k|b|²-b•c=64k—20=0 5 よって, k=- , AK=56 16 AL=mc とおくと, _16 BL-mc-b BL⊥AC より BL AC=(mc-b) c=m/c/2-b-c=25m−20=0 4 よって, m= m=1 より AL=4 50 (-1) + x)-DA-M (2)B,H, Lは一直線上にあるから, BH:HL=s: (1-s)| とおくと, AH=(1-s)AB+sAL= (1-s)+450 -16(1-5)AKSAC 5SC 6=16 16 11/8(1-5)+/s=1 より 4 =S ここで,点Hは線分 CK 上にあるから、トイ 4 5~ 5 i = 1/6 AK を代入 A K 11 1= 11-> 12 12AAL L H B 1-s/C 「練習 01.00 これを点 be △ABL→△ACK 注目する三角形 を変える。 注〉 (2)については, AH=sAB+tAC (s, t は実数) とおき, CHAB=0, BH AC=0 から s, tの連立方程式を作り,これを解いて直接求めてもよい △ABCにおいて, AB = 5, AC=4, ∠A=60°とする

角C＝90度なのと このとき外心は辺AB上にあるのはなぜですか？ 解説よろしくお願いします🙇‍♀️

基本 例題 31 線分の垂直に関する証明 ①のののの △ABCの重心をG, 外接円の中心を0とするとき、 次のことを示せ。黄三 (1) OA+OB+OC=OHである点Hをとると, Hは△ABCの垂心である。 (2)(1)の点に対して, 3点 0, G, Hは一直線上にあり GH=20G 指針 635 [類 山梨大 ] ・基本 25 基本 71\ 1 (1) 三角形の垂心とは,三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線の交 点である。 AH+0, BC+0, BH+0, CA+00 AH BC, BHICA AHBC=0, BH・CA = 0 ...... A であるから, 内積を利用して, A [(内積)=0] を計算により示す。 Oは △ABC の外心であるから, OA|=|OB|=|OC| も利用。 CHART 線分の垂直 (内積)=0 を利用 (1) ∠A=90°, ∠B=90° としてよ ゆえに (AB A 解答 い。このとき, 外心 0 は辺BC, CA 上にはない。 ...... ① AOGH 直角三角形のときは ∠C=90° とする。 このとき,外心は辺 AB 上にある (辺 AB の中 点)。 章 位置ベクト (2) OH = OA+OB+OC から A=OH-OA=OB+OC ゆえに AHBC =(OB+OC) (OC-OB) =LOCF-|OB=0 同様にして B IBC=OC-OB(分割) 1-10-08+0OS AO 281 BH・CA=(OA+OC) (OA-OC) BC CA CA AL =|OA|-|OCP-0 ABCの外心 0→ OA=OB=OC (数学A) ++7 晶検討 また, ① から AH = OB + OC = 0, BH=OA+OC≠0 よって, AH = 0, BC≠0, BH ≠0, CA 0 であるから AHLBC, BHLCA AHLBC. BHICA 外心、重心、垂心を通る直 線 (この例題の直線 OGH) をオイラー線 と いう。ただし、正三角形

画像の問題で なぜ座標をA(2a,2b)に置くのかが分かりません。 教えていただけると嬉しいです🙏

00 うな定 本 80.84 基本例 例題 87 座標を利用した証明(2) | △ABC の各辺の垂直二等分線は1点で交わることを証明せよ。 指針 . 123 基本例題 74と同じように, 計算がらくになる工夫をする。 139 0000 ・基本 74 えない。 。 直線 BC をx軸に,辺BCの垂直 二等分線をy軸にとり, △ABC の頂点の座標を次のようにおく。 座標の工夫 ① 座標に0を多く含む ② 対称に点をとる この例題では、各辺の垂直二等分線の方程式を利用するから、各辺の中点の座標に分 数が現れないように, A(2a,26), B(-2c, 0), C(2c, 0) と設定する。 なお,本間は三角形の外心の存在の座標を利用した証明にあたる。 ∠Aを最大角としても一般性を失 わない。このとき,∠B <90° 解答 ∠C <90° である。 ya 注意 間違った座標設定 A(2a, 2b) 例えば,A(0,b),B(c, 0), C-c, 0) では,△ABC 3 N M K B C -2c OL 2cx 二, 起 ただし A(2a, 2b), B(-2c, 0), C(2c, 0) a≧0,6>0,c>0 は二等辺三角形で,特別な 三角形しか表さない。 座標を設定するときは, 一般性を失わないように しなければならない。 章 13 また,∠B90°, ∠C <90° から, a=c, aキーcである。 更に,辺BC, CA, ABの中点をそれぞれL,M,Nとす ると,L(0,0),M(a+c, b), N(a-c, b)と表される。 辺 AB の垂直二等分線の傾きをm とすると, 直線 AB の 証明に直線の方程式を使 用するから, (分母) = 0 とならないように,この 条件を記している。 AMEE (S) 0-26 b -2c-2a a+c 1 直線の方程式、2直線の関係 傾きは b atc であるから, mo b atc =-1より 交 を a+c m=- よって,辺ABの垂直二等分線の方程式は 点N (a-c, b) を通り, Ab atc y-b=-9 (x-a+c) a+c 傾き の直線。 b 曲82(金 すなわち atc a+b2-2 y=-. -x+ b -c とおいて y=-- 辺 ACの垂直二等分線の方程式は、 ①でcの代わりに a-c a+b2-c b b 辺ACの垂直二等分線 -x+ ・・・・・ (2) は,傾き の直線 2直線 ①②の交点をK とすると, 1, ② y切片はと a²+b²-c² もに であるから K0 +80- a2+b2-c b 点Kは, y 軸すなわち辺BCの垂直二等分線上にあるから, △ABCの各辺の垂直二等分線は1点で交わる。 b a-c ACに垂直で, 点 M(a+c, b) を通るから, ①でcの代わりに-c とおくと,その方程式が 得られる。 練習 △ABCの3つの頂点から, それぞれの対辺またはその延長に下ろした垂線は1点 ② 87 で交わることを証明せよ (この3つの垂線が交わる点を,三角形の垂心という)。

分母のΖｰα 達がβ＋γに変わるのはどういった式変形になってるのか中身を教えてください🙇‍♀️

基本 124 三角形の重心を表す複素数 00000 等式ぇ=a+β+yが成り立つとき,日はABCの心であることを証明せよ 基本123 重要 125 12 単位円上の異なる3点A(a), B (B), C(y) と, この円上にない点H(z)について ABCの重心が甘⇔AHBCBHCA 指針 例えば、 AHBC を次のように、 複素数を利用して示す。 Y-B r-B AHL BC 虚数 814 818 B + (7-8)= =0 また, 3点A, B, Cは単位円上にあるから [ 純虚数wキ かつ w+w=0 (p.504 参照) を利用している。 ||=||=||=1⇔ad=BB=YY=1 これとz=a+β+yから得られる z-α = β+y を用いて, B, yだけの等式に直 て証明する。 8-1 CHART 垂直であることの証明 ABCD が純虚数 B-a 3点A(a),B(B), C(y) は単位円上にあるから 解答 すなわち よって |a|=||=|x|=1 |a|=||=||=1 aa=βB=ry=1 α= 0, β= 0, y = 0 であるから B(B) A(α) H(2) C Y A, B, C, H はすべて異なる点であるから, Y-B ¥0で 2-a y—ß _y—ß ¸y-B (*) (*) B= <指針 B' 大 垂直であるとい 条件を、純虚数 -B Y-B + + 2- B+r B+y B+y B+y Y-B + B+y 11 1|1|1|B y-BB-y いう複素数の条 更に等式 言い換えて示し + B+YY+B なお, bi が + Y ためには, b ことに注意。 =0 Y-B よって, では純虚数である。 z-a ゆえに AHLBC 同様にして BHICA 上の式で α したがって, Hは△ABCの垂心である。 y が αに入れ 練習 上の例題において, w=-aßy とおく。 wキαのとき,点D(w) は単位円 124 AD⊥BC であることを示せ。

問1が3になるのですが、解き方がわかりません。教えてください

I 平面上に 3 点 0, A, B があり,| OA|= √5, | OB|=3, |20A-OB | = V17 を 満たしている。 △OAB の垂心を H とするとき, 以下の問いに答えよ。 (1)0.0 = (1) OA OB: (1) である。 (2) (2) cos ∠AOB = であり,| AB (4) (5) である。 (3) (6) (8) (3) OH ⊥ AB かつ AH ⊥ OB であるから, OH OA+ OB である。 (7) (9) (10) (12) (4) △OAH の面積S は, △OAB の面積の 倍であり, S= である。 (11) (13) (20点)

なぜベクトルAH×ベクトルOB＝（sベクトルa+tベクトルb-ベクトルa）×b 〈3枚目の写真の1行目〉 の形に変形できるのですか⁇ どのように考えて変形すれば良いか教えてください🙇‍♀️💦

6 [クリアー数学C問題 85] OA=6,OB=4, ∠AOB=60°である△OABの垂心をHとする。OA=a, OB=1 3オ=2-1 大三 とするとき OH を a を用いて表せ。 11-2 1.4 0

このQのx座標はどうやってだしているんですか？ 問題文のケ･コ の部分です！

解説 OC=OB=4, ∠COB = 20より, Cの x 座標は 4cos20=4(cos'0-sin20)=4( 4(1-a²) 1+a2 1+a2 a² 1+a 第1問(数学Ⅱ 図形と方程式, 三角関数) II 1 3 4 5 24 【難易度...★★】 Cのy座標は YA `C (p. a) l:y=ax 4sin208sin Acos0=8・ 8a =1+α2 よって, C の座標は a √1+a² √1+a² O Q 18 A(2, 0) B(4,0) (1Xi) C の座標を (p, g) とおくと, l⊥BCより 9-0 p+ag-4=0 4(1-a²) 8a (⑧⑦) 1+a² 1+a² (2) lは線分BCの垂直二等分線であり, Aは分 の中点であるから,Qは OBCの重心である。 よって, Qのx座標は 4(1-a2)] 1/4+4+te 8 3(1+a a. =-1 P-4 (①) 3 1+a2 また、親分BCの中点(+4, が上にあるので Qのy座標は p+4 1 8a =a 2 2 31+α23(1+α2) 8a ap-g+4a=0 (6) ②よりg=ap+4a, ① に代入して p+a(ap+4a)-4=0 (1+α2)p=4(102) よって, Q の座標は Q(3(1+a²ð), 3(1+a²³)) 8a (3, 0) (3)(2)より 第 (1) (ii) 4(1-a²) p= 1+α² ②より √4(1-a²) +4}= g=a 1+a² 8a 1+α² POB=0 (0<< 2 ) とおくと,tan0 はの傾 きを表すので tan 0=a (0) 8 x= 3(1+a2) 8a y= 3(1+α2) とおくと, >0よりx>0,y>0であり,③④より y n a= x 8 これを③,すなわち x(1+α²)に代入して このとき 1 cos20= 1 1+tan20 1+a² COS0 >0より cos= 3 √1+a2 x 8 8 x2+y2=1203 3x 16 よって, 点Qの軌跡は a sin0=tan0cos= √1+a 中心 ( 143 ) 半径 1/3の円 のy>0の部分である。

数Iの図形の問題です。 解説の下から3行目まではわかったのですが、OQ垂直PRとOR垂直QPの証明の仕方がわかりません。 解説を見て考えてみるとABとQPが平行であることを証明しないといけないと思ったのですが、解説ではそれを証明していないのでわからないです。 教えてください... 続きを読む

294 — 数学A EX ③58 △ABCにおいて,外心Oの,辺BC, CA, AB に関する対称点をそれ ぞれP,Q,R とするとき, 0はPQR の垂心であることを証明せよ。 A B P HINT] 平行四辺形の性質をうまく利用する。 例えば、 「向かい合う2辺は平行で,その長さが等しい」 線分AB と 線分RO は互いに他 を2等分しているから, 四角形 ARBO は平行四辺形である。 よって RB/AO, RB=AO......① 線分AC と 線分 QO は互いに他 を2等分しているから, 四角形 AOCQは平行四辺形である。 よって AO/QC, AO=QC ...... ・② ① ② から RB//QC, RB=QC R B P したがって, 四角形 RBCQ は平行四辺形である。 ゆえに RQ // BC RQ//BC, OP ⊥BC から OPRQ A 8 C 四角形の2本の対角線 がそれぞれの中点で交わ るとき、その四角形は平 行四辺形である。 Tinf. AABC t ∠A=90°の直角三角形 の場合, △ABCの外心 Oと点Pは一致し PR⊥PQ となる。この とき, 点P(点0) は △PQR の垂心である。 HA HA R 同様にして OQ⊥PR, OR⊥QP 0. よって, 0はPQR の垂心である。 B C A P

青の下線部の{ }の中がよく分かりません。 この{ }はどこから来たのでしょうか？？ どなたか分かる方教えてください！！🙇‍♀️

た。 専例題 ∠OAB において、OA=4, OÀd OB (1) 内積 とする。 を求めよ。 CHART & SOLUTION (2) OFiをを用いて表せ。 三角形の垂心 3頂点から下ろした垂線の交点 p.509 基本事項3 H 垂直 内積 = 0 を利用 (1) ABP=18-â の展開式を考える。 OA・BH=0, OB・AH = 0 A (2) OA⊥BH, OBIAH であるから OH=sa+tとして,この条件を利用し,s, tを求める。 解答 (1)|AB|=|-2|=|-24・5+|ap |AB|=6, |a|=4,16|=5であるから 62=52-24 +42 よって (2) OH=sat (s, t は実数)とする。 5 2 O 2a-b=5 Hは垂心であるから OAL BH H よって OA-BH=0 a 6 ゆえに{s+(t-1)}=0 よって slar+(t-1)ab=0 A B (内) 0 BH-OH-OB =sa+tb-b ||=4, d="72 であるから a•b=5 16s+ 5 (t-1)=0 2 ゆえに 32s+5t-5=0 ① またOBAH から OB AH=0 ゆえに {(s-1)a+tb}=0 A よって (s-1)a・6+t6=0 (内積) = 0 AH=OH-OA ==sa+tb- (0000%HA) 0COLA 16=5,462 であるから 5 (s-1)+25t=0 2 2 ゆえに s+10t-1=0 ② ① ② を解くと 3 S= t= inf. AOAB la 35 よってOH= → 3 a+ -6 25 87-0, ではないから、 頂点 0, A, E 致しない