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基本例題 188 関数のグラフの概形 (2) ･ 対称性に注目
関数 y=4cosx+cos2x (-2≦x≦2π) のグラフの概形をかけ。
基本 187
解答
y=f(x) とすると, f(-x)=f(x) であるから, グラフはy軸
に関して対称である。
指針 関数のグラフをかく問題では, 前ページの基本例題187同様 定義域, 増減と極値,凹凸
と変曲点 座標軸との共有点, 漸近線などを調べる必要があるが,特に, 対称性に注
目すると、増減や凹凸を調べる範囲を絞ることもできる。
f(x)= f(x) が成り立つ (偶関数)⇒グラフはy軸対称
f(-x)=f(x) が成り立つ (奇関数) グラフは原点対称
この問題の関数は偶関数であり, y = 0, y=0 の解の数がやや多くなるから, 0≦x≦2
の範囲で増減・凹凸を調べて表にまとめ, 0≦x≦2におけるグラフをy軸に関して対称
に折り返したものを利用する。
y'=-4sinx-2sin2x=-4sinx-2･2sinxcOS x
=–4sinx(cosx+1)
y=-4cosx-4cos2x=-4{cosx+(2cos²x-1)}
=–4(cosx+1)(2cosx−1)
0<x<2πにおいて, y = 0 となるxの値は, sinx = 0 または
COSx+1=0 から
x=π
y" = 0 となるxの値は, cosx+1=0または2cosx-1=0から
5
π
3"
8
0
x=
:
π
3
-
π
3
よって, 0≦x≦2におけるyの増減,凹凸は,次の表のようになる。 (*)
0
3
2
1
う
+
π,
↑
R
olo
...
++
|5|3|
-3 ↑
π
+
:
1+
2π
↑
00000
◄cos (- = COS
重要 189, 190
2倍角の公式。
(数学ⅡI)
y=-4sinx-2sin2xを
微分。
(*)の式で, cosx+1≧0
に注意。 sinx, 2cosx-1
の符号に注目。
0
3
y 5
5
2
ゆえに,グラフの対称性により, 求めるグラフは右図。
[参考] 上の例題の関数について, y=f(x) とすると
f(x+2)=f(x)
よって, f(x) は2πを周期とする周期関数である。 ←数学ⅡⅠ 参照。
この周期性に注目し,増減や凹凸を調べる区間を 0≦x≦2に絞っていく考え方でもよい。
-27
37
π
yA
15
3-2
T
3
