Question

ピッピー

一対一対応の数学Ⅱの問題の写真2枚目の？の部分が理解できないので教えて下さい！

これが 66 なので, 9+a=11
. a=2
ある。
の象
41 と
O1 演習題(解答は p.152)
どちらも偶関数· 奇関数
の性質を用いるとよい。
(ア)は被積分関数を展開。
(イ)はf(x)の条件を処
理し,
1
(ア)か,qを定数とする.定積分」(2°+加-9)°dzは, か=
q= で最
小値をとる。
(イ)原点を通り,そこでの接線の傾きが-3である3次関数f(x)のうちで任意の2
(成隣大·理工)
次関数g(z)に対して, つねに「(x)g(x)de=0 となるものはず(z)=■コで
g(z)= pr?+ qz+rと
おいて積分値をp, q, r
について整理する。
ある。
(昭和薬大)
138

を計算すると偶数次の項の積分が残る.それを p, q. r
2
積分法とその応用
演習題の解答
について整理することを考え,被積分関数を
z?×(f(z)の偶数次)+ qz×(f(z)の奇数次)+..
と書くと,
の=2(r?- b2+ qz(az-3x)+r·bz?}dr
のを
c1
=2*dr + 24), (art-3z°) dz+2r["he?da
1…A*B**
2…B**
5…B*oB 6…A*B**
+2q
25-23
10…B
13…B
ように
F(
12…C
b
14…B
f(エ)
F(エ.
これがp, q, rの値によらずに0になるのは
)(ア)展開して計算する.p, qの2次式になる
ので平方完成すればよい。
(イ)f(z)の条件からf(z)の1次と定数が決まり,
f(x)= az°+ bx+…となる.次にg(x)=px?+ qatr
とおいて積分を計算するが,「任意のp, q, rに対して積
分値が0」なので, 積分値を Ap+ Bq+Cr の形に整理し
て(A, B, Cはaとbの式) A=B=C=0からaとb
を求める。
=0
5
すなわち a==5, b=0
のときである.よって,②より
f(z)=5z°-3r
今注 積分区間が0~1の場合,
1
な+1
n+1
n+1
(ア)(z+ 加-g)?
=*+2r°+(-2q)ー2pqz+q° … 0
のを -1から1まで積分する. 偶数次の項は0から1
までの積分の2倍で, 奇数次の項は0となるので
解
であるが,慣れてきたら
1
"dz=
n+1
とテンポよ
0
く進めよう.答案では*は省略してもよい。
o=2;は+(がー2g)エ+)血
2) y=r-4r+1のグラフは解答の図のようにな
り,実は(1)は p.144 の公式そのものである.ここでは
この公式を導いてみよう.素直に展開してもよいが、
-4(-2)キ
であ
3
「(ェーk)"az=-
1
(ェ-k)"+1+C
n+1
から
-が+2-
4
(nは0以上の整数, kは定数, Cは積分定数)をk=a
として利用する。 (2)は例題と同様,被積分関数をそろ
2
3
5
えてみる。
9
解 -4c+1=0
よって, p=0, q=で最小値をとる。.
リ=z2-4c+1
の2解がa, Bであるから,
2-4r+1=(z-a)(ェーB)
3
(イ)原点を通るからf(0)=0で,
f(z)=ar°+ br?+ cx (a, b, cは定数)とおける。
このときf'(z)=3ar?+2bx+cであるから,
f'(0)=-3 [原点における接線の傾きが-3] より
と書ける。
B
(1)aSェSBで-4z+1<0であるから,
「-4z+1da=f"(-(ポー4z+1)}d
--(エ-a)(エーB)d)
6
c=-3. よって,
S-
f(x)=ar°+bx?-3.z
g(z)= pr?+ qz+r (カ, q, rは定数) とおく.
ここで、
(zーa)(ェーB)=(hla){(zla)-(8-a)}
=L(ar+ br?-3z)(加+4x+r)de
となることから,
=(ェ-a)?-(8-a)(ェーa)
152
が
グ

積分 大学

Answer 1

ダンシングクイーン

偶関数・奇関数の性質（定積分）を用います。
xの次数が偶数ならば偶関数であり、一方次数が奇数であれば奇関数となります。上の解答では、左下の最後の行で被積分関数を展開、降べきの順に整理して、偶数次の項、奇数次の項と被積分関数を分けたんでしょう。
で、結果として偶数次の項の定積分の値は2倍、奇数次の項の定積分の値は0となり消えました。