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の意味」
an+g がある.
133
に関係している.
1次関数y=px+αの
x
られ、次に,a2 を x=2
=px+gによって、次々
特性方程式について考えて
特性方程式 a=pa+q
考え方
解答
ひく?
Omnian brand とおくと
an+2an+1=3(Aw+1 am) +2
bm+1=36+2,
bm+1+1=3(bm+1)
より、
特性
じだけ平行移動して
n≧2 のときの
したがって、数列{bm+1} は初項12,公比3の等比数列
b"=4.3"-1
bm+1=12・3" =4・3"
方程式だから、
b=az-a=3a1+2+3-a=11
b₁+1=12
-1
1
のように考える.
/y=x40~
k=1
k=1
3漸化式と数学的帰納法
(83)
B1-65
****
La=3, an+1=3a,+2n+3 で定義される数列{an} の一般項 α を求めよ.
例題 B1.34 漸化式 anti=pan+f(n) (カキ1)
[答] 漸化式 n+1= 30+2n+3 において,nを1つ先に進めて as+2 と に関す
る関係式を作り,差をとって、(a)に関する漸化式を導く。
2αに加える (または引く)nの1次式pn+g を決定することにより,(
{a,+pn+g} が等比数列になるようにする。
an+1=3am+2n+3
☆ = 30+2(n+1)+3
②①より、
a+b=3+(4·3-1)=3+
②は①のにn+1
を代入したもの
差を作り, nを消去
する.
①より,
a2=3a,+2+3=14
α = 3α+2 より
α=-1
12.3"=4・3・3"-1
=4.3"
第 1 章
12(3"-1-1)
(n-1)
3-1.
=6・3"-1-n-2=2・3"-n-2
=px+q(y-a=p(x-a))
n=1のとき, a=2・3'-1-2=3より成り立つ
よって. an=2.3"-n-2
6・3"-1=2・3・3" - L
=2.3"
n=1のときを確認
W
軸方向にα y軸方向にα
平行移動
px
解答 2pg を定数とし, an+1+p(n+1) +q=3(a,+pn+g) とおくと,
an+1=3a,+2pn+2g-p
an+1+pn+p+g
もとの漸化式と比較して, 2p=2, 2g-p=3より,p=1,g=2
したがって,att(n+1)+2=3(a+n+2), a+1+2=6
より, 数列{an+n+2}は初項 6,公比3の等比数列
=3a+3pn+3g よ
り, an+1=3a+2pn
+2q-p
よって, an+n+2=63"23" より an=2.3"-n-2a=3
an+1=pan+f(n) (f(n)はnの1次式
p(x-a)
Focus
うが同じグラフ)
このαを利用して
差を作り, n を消去して階差数列を利用して考える
れを1つ先に進め
注》例題 B1.33 (p.B1-63) のように例題 B1.34 でも特性方程式を使うと, α=3a+2n+3 よ
3
3
5. a=-n- となる.これより,Qn+1+n+1/2=3am+n+
ある。
a)と変形でき,
x=px+gの
の特性方程式
練習
<数学的背
」として通り
順番になっていない
3
と変形できるが,等比数列を表していないので、このことを用いることはできない。
注意しよう. (p. B1-66 解説参照)
a=2,an+1=2am-2n+1 (n=1,2,3, ･･････) によって定められる数列{a}に
B1.34 ついて,
**
(1) bm=am-(an+β) とおいて、数列{bm}が等比数列になるように定数 αβ
の値を定めよ.
(2)一般項 α を求めよ.
B1
B2
C1
(滋賀大)
C2
