分子は,初項1,公差1の等差数列である。すなわち, もとの数列の項数と分子は等
基本 例題112 群数列。
8
6
7
の分数の数列について、
550
9
10 11
4
5
4'4'4' 51
2
3
3'4
1
1'2'2'3' 3
[類東北学院大)
基本111)
初項から第210項までの和を求めよ。
指針> 分母が変わるところで 区切り を入れて,群数列 として考える。
分母:1|2,2|3, 3, 3|4, 4, 4, 4| 5,
1個 2個
第n群には,分母がnの分数がn個あることがわかる。
分子:1|2,3|4, 5, 6|7, 8, 9, 10| 11,
3個
4個
しい。
る
まず,第210項は第何群の何番目の数であるかを調べる。
解答
分母が等しいものを群として, 次のように区切って考える。
6|7 8
もとの数列の第k頂は分
子がんである。また,第k
群は分母がんで, k個の数
3|4 5
1|2
1|2'2|3'
第1群から第n群までの項数は
9
10|11
を含む。
1+2+3+………+n=n(n+1)
4これから, 第n群の最後の
第210項が第n群に含まれるとすると
数の分子は
(n-1)n<210か(n+1)
ア
目番 0
よって
(n-1)n<420Sn(n+1)
の
(n-1)n は単調に増加し, 19·20=380, 20·21=420 であるから,
のを満たす自然数 nは
また,第210項は分母が20 である分数のうちで最後の数であ
(半)
目番1a
n=20
る。ここで,第n群に含まれるすべての数の和は
20·21=D210
n+1
2
-n=
ゆえに,求める和は
3 は第n群の数の分子
2
の和→等差数列の和
20 k2+1
-E+)-(10-2)-41 +20)
こ+21
\k=1
n(2a+(n-1)d}
k=1
2
k=1
6
=1445
を入れる
