40 逆関数
f(x)=var-2-1 (a>0, 22) とするとき、次の問いに答えよ。
(1) y=f(x)の逆関数y=f(x) を求めよ.
(2) 曲線 Ci:y=f(x)と曲線 C2y=f'(x)が異なる2点で交わる
ようなαの値の範囲を求めよ
(3) Ci,C2 の交点の座標の差が2であるとき, αの値を求めよ.
精講
〈逆関数の求め方〉
y=f(x) の逆関数を求めるには,この式を
x=(yの式)と変形し, xとyを入れかえればよい
<逆関数のもつ性質>
I. もとの関数と逆関数で, 定義域と値域が入れかわる
Ⅱ. もとの関数と逆関数のグラフは、直線y=x に関して対称になる
逆関数に関する知識としてはこの3つで十分ですが,実際に問題を解くとき
〈逆関数のもつ性質>を上手に活用することが必要です. この基礎問では,IIが
ポイントになります。
解答
(1) y=√ax-2-1 とおぐと, √ax-2=y+1
よって, y+10より, 値域は y≧-1
ここで, 両辺を2乗して,
[大切!!
ax-2=(y+1)²
..
x=1/2 (y+1)+12 (21)
a
かわる
, f(x)=(x+1)²+(x-1) 【定義域と値域は入れ
注 「定義域を求めよ」とはかいていないので,「x≧-1」は不要と思う
人もいるかもしれませんが,この値に対してyを決める規則が関数で
すから,xの範囲,すなわち, 定義域が「すべての実数」でない限り
は、そこまで含めて「関数を求める」と考えなければなりません。
(2)y=f(x)とy=f(x)のグラフは、凹凸が異なり,かつ,直線
